Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

69. Normal que interseca ¿En qué otro punto la recta normal a la
curva x en (1, 1) interseca la curva?
2 + 2xy - 3y 2 = 0
70. Normales paralelas a una recta Encuentre las normales a la
curva xy + 2x - y = 0 que son paralelas a la recta 2x + y = 0.
71. Normales a una parábola Demuestre que si es posible dibujar
las tres normales desde el punto (a, 0) a la parábola x = y 2 que se
muestra aquí, entonces a deber ser mayor que 1>2.
Una de las normales
es el eje x. ¿Para qué valor de a son perpendiculares las
otras dos normales?
y
0 (a, 0)
73. 74. x 3 + y 2 = sen 2 xy y
3 + x 2 y = 6
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
x y 2
72. ¿Qué conceptos geométricos están detrás de las restricciones en
los dominios de las derivadas de los ejemplos 6(b) y 7(a)?
T En los ejercicios 73 y 74, encuentre dy>dx (tratando y como una función
diferenciable de x) y dx>dy (tratando x como una función diferenciable
de y) ¿Cómo parecen estar relacionadas dy>dx y dx>dy?
Explique
la relación geométricamente, en términos de las gráficas.
75. a. Dado que x 4 + 4y 2 = 1, encuentre de dos maneras: (1)
resolviendo para y y derivando la función resultante de la forma
usual, y (2) mediante diferenciación implícita. ¿Obtuvo el
mismo resultado en ambos casos?
b. Resuelva la ecuación x 4 + 4y 2 = 1 para y y grafique juntas
las funciones resultantes para obtener la gráfica completa de la
ecuación x 4 + 4y 2 dy>dx
= 1. Después, agregue las gráficas de las
primeras derivadas de estas funciones a su pantalla. ¿Podría
predecir el comportamiento general de las gráficas de las
3.7
x
primeras derivadas a partir de la observación de la gráfica de
x 4 + 4y 2 = 1? ¿Podría predecir el comportamiento general
de la gráfica de x 4 + 4y 2 = 1 a partir de la observación de la
gráfica de las derivadas? Justifique sus respuestas.
76. a. Dado que (x – 2) 2 + y 2 = 4, encuentre de dos maneras:
(1) resolviendo para y y derivando las funciones resultantes
con respecto a x y (2) mediante diferenciación implícita. ¿Obtuvo
el mismo resultado en ambos casos?
b. Resuelva la ecuación (x – 2) 2 + y 2 = 4 para y y grafique juntas
las funciones resultantes para obtener la gráfica completa de la
ecuación (x – 2) 2 + y 2 = 4. Después agregue las gráficas de
las primeras derivadas de la función a su pantalla.¿Podría predecir
el comportamiento general de las gráficas de las derivadas
a partir de la observación de la gráfica de (x – 2) 2 + y 2 = 4?
¿Podría predecir el comportamiento general de la gráfica de
(x – 2) 2 + y 2 = 4 a partir de la observación de la gráfica de las
derivadas? Justifique sus respuestas.
Use un software matemático para realizar los pasos siguientes en los
ejercicios 77 a 84.
a. Dibuje la ecuación con el graficador implícito del software.
Verifique que el punto dado P satisface la ecuación.
b. Usando diferenciación implícita, encuentre una fórmula para
la derivada y evalúela en el punto dado P.
c. Use la pendiente determinada en el inciso (b) para encontrar
una ecuación para la recta tangente a la curva en P. Después
trace juntas, en una sola gráfica, la curva implícita y la recta
tangente.
77.
78. x 5 + y 3 x + yx 2 + y 4 x
= 4, Ps1, 1d
3 - xy + y 3 dy>dx
dy>dx
= 7, Ps2, 1d
79.
80.
81.
82.
83.
y 2 + y =
Razones de cambio o tasas relacionadas
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 213
2 + x
, Ps0, 1d
1 - x
x + tan a y
p
x b = 2, P a1,
4 b
y 3 + cos xy = x 2 , Ps1, 0d
xy 3 + tan (x + yd = 1, P a p
, 0b
4
2y 2 + sxyd 1>3 = x 2 + 2, Ps1, 1d
84. x21 + 2y + y = x 2 , Ps1, 0d
En esta sección veremos problemas cuya incógnita es la razón a la que cambia cierta variable.
En cada caso, la tasa es la derivada que tiene que calcularse a partir de conocer la razón
a la cual cambia alguna otra variable (o quizás varias variables). Para encontrarla escribimos
una ecuación que relacione las variables involucradas, y la derivamos para obtener
una ecuación que relacione la tasa que buscamos con las razones de cambio que conocemos.
El problema de encontrar una tasa que no se puede medir fácilmente a partir de otras
tasas que sí se pueden determinar se llama problema de razones de cambio relacionas.