Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
24. Determinación de un volumen La región infinita acotada por
los ejes coordenados y la curva y = –ln x en el primer cuadrante,
se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determine
el volumen del sólido.
25. Centroide de una región Determine el centroide de la región
en el primer cuadrante acotada por abajo por el eje x, por arriba
por la curva y = ln x y a la derecha por la recta x = e.
26. Centroide de una región Determine el centroide de la región
en el plano acotada por las curvas y las rectas
x = 0 y x = 1.
27. Longitud de una curva
y = ln x, de x = 1 a x = e.
Determine la longitud de la curva
28. Determinación del área de una superficie Determine el área
de la superficie generada al hacer girar la curva del ejercicio 27
alrededor del eje y.
29. Longitud de una astroide La gráfica de la ecuación +
y forma parte de una familia de curvas llamadas astroides
(no “asteroides”), por su parecido a una estrella (vea la figura siguiente).
2>3 x
= 1
2>3
y = ;s1 - x 2 d -1>2
30. Superficie generada por una astroide Determine el área de la
superficie generada al hacer girar la curva del ejercicio 29 alrededor
del eje x.
31. Determine una curva que pase por el origen, cuya longitud es
1 +
L0
A
32. Sin evaluar ninguna de las integrales, explique por qué
1
4x dx.
33. a. Grafique la función
b. Demuestre que ƒsxd dx converge, y encuentre su valor.
L-q
34. Determine
2
L
lím
n: qL0 35. Deduzca la fórmula de la integral
L xA 2x2 - a 2 B n
1
-1
21 - x 2 dx = L
1
4
1
ƒsxd = e
q
sx - exd , -5 … x … 3.
- 1 nyn
1 + y dy.
y
x 2/3 y 2/3 1
–1 0
1
–1
dx = A 2x2 - a2 n + 2
B
n + 2
1
-1
x
dx
.
2
21 - x
+ C, n Z -2.
36. Demuestre que
Capítulo 8 Ejercicios adicionales y avanzados 639
p
6 6 L0
(Sugerencia: Observe que para tenemos
4 - x donde el lado izquierdo se vuelve igualdad
para x = 0 y el lado derecho se vuelve igualdad para x = 1).
2 - x 3 7 4 - 2x 2 4 - x
,
2 0 6 x 6 1,
7
37. ¿Para qué valor o valores de a
L1
converge? Evalúe la(s) integrale(s) correspondiente(s).
q
38. Para cada x > 0, sea Gsxd = 10
Demuestre que xG(x) =
1 para toda x > 0.
e -xt dt.
39. Área infinita y volumen finito ¿Qué valores de p tienen la
propiedad siguiente: el área de la región entre la curva y = x –p ,
–1 x 6q, y el eje x es infinita, pero el volumen del sólido generado
al hacer girar la región alrededor del eje x es finito.
40. Área infinita y volumen finito ¿Qué valores de p tienen la
propiedad siguiente: el área de la región en el primer cuadrante
acotada por la curva y = x –p , el eje y , la recta x = 1, y el intervalo
[0, 1] en el eje x es infinita, pero el volumen del sólido generado
al hacer girar la región alrededor de uno de los ejes coordenados
es finito.
Integración tabular
La técnica de integración tabular también se aplica a integrales de la
forma 1 ƒsxdgsxd dx cuando ninguna de las funciones puede derivarse
de manera repetida hasta convertirse en cero. Por ejemplo, para
evaluar
iniciamos como antes, con una tabla listando las derivadas sucesivas
de e 2x L
y las integrales de cos x:
e2x cos x dx
e y sus cos x y sus
derivadas integrales
2x
(+)
1
dx
24 - x2 p22
6 .
3 - x 8
q
ax
a
x 2 + 1
1
- b dx
2x
( ) cos x
( ) sen x
4e " -cos x Deténgase aquí: esta fila es
igual a la primera, salvo por
factores constantes (4 a la
izquierda, –1 a la derecha)
Detenemos la derivación y la integración tan pronto como lleguemos a
una fila que sea igual a la primera, excepto por factores constantes. Interpretamos
la tabla como
2x
2e -
2x
e +
2x
;
L e2x cos x dx = +se 2x sen xd - s2e 2x s -cos xdd
+ L s4e 2x ds -cos xd dx.