Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
Calculadora graficadora o computadora
En los ejercicios 37 a 40:
a. Encuentre los valores extremos locales de cada función en el intervalo
dado, y diga en dónde se alcanzan.
b. Grafique juntas la función y su derivada. Comente el comportamiento
de f en relación con el signo y los valores de
37.
38. ƒsxd = -2 cos x - cos2 ƒsxd =
x, -p … x … p
x
ƒ¿ .
x
- 2 sen , 0 … x … 2p
2 2
39.
40.
ƒsxd = csc 2 x - 2 cot x, 0 6 x 6 p
ƒsxd = sec 2 x - 2 tan x, -p
2
Teoría y ejemplos
Demuestre que las funciones de los ejercicios 41 y 42 tienen valores
extremos locales en los valores de dados, y diga qué tipo de extremos
locales tiene la función.
41.
42. hsud = 5 sen
43. Grafique una función diferenciable y = ƒsxd que pase por el punto
(1, 1) con ƒ¿s1d = 0 y
u
hsud = 3 cos
, 0 … u … p, en u = 0 y u = p
2 u
u,
, 0 … u … 2p, en u = 0 y u = 2p
2
a.
6 x 6 p
2
ƒ¿sxd 7 0 para x 6 1 y ƒ¿sxd 6 0 para x 7 1;
b. ƒ¿sxd 6 0 para x 6 1 y ƒ¿sxd 7 0 para x 7 1;
4.4
f' decrece
CÓNCAVA HACIA ABAJO
0
y
Concavidad y trazado de curvas
y x 3
CÓNCAVA HACIA ARRIBA
f' crece
FIGURA 4.25 La gráfica de ƒsxd = x es
cóncava hacia abajo en s - q, 0d y cóncava
hacia abajo en s0, q d (ejemplo 1a).
3
x
c.
ƒ¿sxd 7 0 para x Z 1;
4.4 Concavidad y trazado de curvas 267
d.
44. Grafique una función diferenciable que tenga
a. un mínimo local en (1, 1) y un máximo local en (3, 3).
b. un máximo local en (1, 1) y un mínimo local en (3, 3).
c. máximos locales en (1, 1) y (3, 3).
d. mínimos locales en (1, 1) y (3, 3).
45. Grafique una función continua tal que
a. cuando
cuando
b. cuando
y
46. Grafique una función continua tal que
a. para toda
conforme y
b. para toda conforme
y conforme
47. ¿La gráfica de crece o decrece conforme x
se mueve de izquierda a derecha del punto ? Justifique su
respuesta.
48. Encuentre los intervalos en los que la función ƒsxd = ax
+ c, a Z 0, crece y decrece. Describa el razonamiento que lo
llevó a su respuesta.
2 ƒsxd = x
c = 2
+ bx
3 x : 0
- 3x + 2
+ x : 0 h¿sxd : - q
.
- h¿sxd : q conforme x : 0
hs0d = 0, -2 … hsxd … 0 x, h¿sxd : q
,
+ x : 0 ;
- g¿sxd : q cuando x : 2
y = hsxd
hs0d = 0, -2 … hsxd … 2 x, h¿sxd : q
,
+ x : 2 .
- x : 2
gs2d = 2, g¿ 60 para x 6 2, g¿sxd : - q
, g¿ 70 para x 7 2,
+ x : 2
;
- , -1 6 g¿ 60 para x 7 2, y g¿sxd : -1 +
gs2d = 2, 0 6 g¿ 61 para x 6 2, g¿sxd : 1 -
ƒ¿sxd 6 0 para x Z 1.
y = ƒsxd
y = gsxd
En la sección 4.3 vimos que la primera derivada nos indica en dónde es creciente y en
dónde es decreciente una función. En un punto crítico de una función diferenciable, el criterio
de la primera derivada nos dice si hay un máximo local o un mínimo local, o si la gráfica
sólo continúa creciendo o decreciendo en tal punto.
En esta sección veremos cómo la segunda derivada nos da información acerca de la
manera en que la gráfica de una función diferenciable abre hacia arriba o hacia abajo. Esta
información adicional nos permite capturar aspectos clave del comportamiento de una
función y su gráfica, para después poderlos plasmar en un esquema de la gráfica.
Concavidad
Como puede ver en la figura 4.25, la curva y = x se eleva cuando x crece, pero las porciones
definidas en los intervalos s - q, 0d y s0, q d abren de distintas maneras. Cuando
nos acercamos al origen desde la izquierda a lo largo de la curva, ésta abre hacia abajo y se
ubica debajo de sus tangentes. Las pendientes de las tangentes decrecen en el intervalo
s - q, 0d. Cuando nos alejamos del origen hacia la derecha a lo largo de la curva, ésta
abre hacia arriba y se ubica por encima de sus tangentes. Las pendientes de las tangentes
crecen en el intervalo s0, q d. Este comportamiento de apertura hacia arriba o hacia abajo
define la concavidad de la curva.
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