Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

140 Capítulo 2: Límites y continuidad
EJERCICIOS 2.7
Pendientes y rectas tangentes
En los ejercicios 1 a 4, use la cuadrícula y una regla para estimar de
manera general la pendiente de la curva (en unidades de y por unidades
de x) en los puntos P 1 y P 2. (Es posible que sus estimaciones sean
un poco distintas de las que aparecen al final del libro).
1. y
2.
3. y
4.
2
1
0
2
1
P 1
1
P 1
0
1
P 2
P 2
1 2
En los ejercicios 5 a 10, encuentre una expresión para la tangente a la
curva en el punto dado. Después trace la curva y la tangente juntas.
5. 6.
7. 8.
9. 10. y = 1
1
, a-2, - 3
x 8 b
y = x3 y =
, s -2, -8d
1
y = sx - 1d
y = 22x, s1, 2d
, s -1, 1d
2 x 2 y = 4 - x + 1, s1, 1d
2 , s -1, 3d
En los ejercicios 11 a 18, encuentre la pendiente de la gráfica de la
función en el punto dado. Después encuentre una ecuación para la recta
tangente de la gráfica en ese punto.
11. 12. ƒsxd = x - 2x 2 ƒsxd = x , s1, -1d
2 + 1, s2, 5d
13. 14.
15. 16. hstd = t
17. ƒsxd = 2x, s4, 2d 18. ƒsxd = 2x + 1, s8, 3d
3 hstd = t + 3t, s1, 4d
3 gsxd =
, s2, 8d
8
x
gsxd = , s3, 3d
x - 2
, s2, 2d
2
x
x
x
P 1
2
1
4
3
2
1
y
2 1 0 1 2
P 1
1
2
y
P 2
P 2
2 1 0 1 2
x
x
En los ejercicios 19 a 22, encuentre la pendiente de la curva en el punto
indicado.
19. 20. y = 1 - x 2 y = 5x , x = 2
2 , x = -1
1
21. y = , x = 3 22. y =
x - 1
Rectas tangentes con pendientes específicas
Determine en qué puntos tienen tangentes horizontales las gráficas de
las funciones de los ejercicios 23 y 24.
23. 24. gsxd = x
25. Encuentre las ecuaciones de todas las rectas con pendiente –1 que
son tangentes a la curva y = 1>sx - 1d.
26. Encuentre una ecuación de la recta con pendiente 1/4 que es tangente
a la curva y = 2x.
3 ƒsxd = x - 3x
2 + 4x - 1
Razones de cambio
27. Objeto lanzado desde una torre Un objeto es lanzado desde
una torre de 100 metros de altura. Después de t segundos, la altura
del objeto es 100 – 4.9t 2 m. ¿Cuál es su velocidad 2 segundos
después de haber sido lanzado?
28. Velocidad de un cohete A t segundos del despegue, la altura de
un cohete es de 3t 2 pies. ¿Cuál es la velocidad de ascenso del cohete
10 segundos después del lanzamiento?
29. Cambio del área de un círculo ¿Cuál es la razón de cambio
del área de un círculo respecto del radio cuando éste
es
30. Cambio de volumen de una pelota ¿Cuál es la razón de cambio
del volumen de una pelota sV = s4>3dpr respecto del radio
cuando éste es r = 2?
3 sA = pr
r = 3?
d
2d Comprobación de tangentes
31. ¿La gráfica de
tiene una tangente en el origen? Justifique su respuesta.
32. ¿La gráfica de
tiene una tangente en el origen? Justifique su respuesta.
Tangentes verticales
ƒsxd = e x2 sen s1>xd, x Z 0
0, x = 0
x sen s1>xd, x Z 0
gsxd = e
0, x = 0
Decimos que la curva y = f(x) tiene una tangente vertical en el punto
donde x = x0 si lím h:0 sƒsx0 + hd - ƒsx0dd>h = q o - q .
Tangente vertical en x = 0 (vea la figura siguiente):
ƒs0 + hd - ƒs0d
lím
= lím
h:0 h
h:0 h1>3 - 0
h
= lím
h:0 1
= q
2>3 h
x - 1
, x = 0
x + 1