Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
100 Capítulo 2: Límites y continuidad
50.
lím
x:0 x2 sen 1 x
Teoría y ejemplos
1
= 0
51. Explique qué significa afirmar que lím gsxd = k.
52. Pruebe que si y sólo si lím ƒsh + cd = L.
lím ƒsxd = L
x:c
2
p
1
1
x:0
h:0
53. Una afirmación errónea acerca de límites Compruebe mediante
un ejemplo que la afirmación siguiente es incorrecta:
El número L es el límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 si f(x)
se acerca más a L a medida que x se aproxima a x0. Explique por qué la función de su ejemplo no tiene el valor L dado
como un límite conforme x : x0.
54. Otra afirmación incorrecta acerca de límites Compruebe
mediante un ejemplo que la afirmación siguiente es incorrecta:
El número L es el límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 si,
dada cualquier P70, existe un valor de x para el que
ƒ ƒsxd - L ƒ 6P.
Explique por qué la función de su ejemplo no tiene el valor L dado
como un límite conforme x : x0.
y
y x 2
y x 2 sen 1 x
0 2 1
y x 2
55. Fabricación de cilindros Antes de solicitar la fabricación
de cilindros para motor de automóvil con un área transversal de
9 pulg 2 , usted necesita saber qué tanta desviación respecto del
diámetro ideal del cilindro (que es de x0 = 3.385 pulgadas) puede
permitir para obtener un área con un error menor que 0.01 pulg 2 a
partir de las 9 pulg 2 requeridas. Para averiguarlo, defina A =
psx>2d y busque un intervalo x para hacer que ƒ A - 9 ƒ … 0.01.
¿Cuál es ese intervalo?
2
56. Fabricación de resistencias eléctricas La ley de Ohm para circuitos
eléctricos como el que se muestra en la figura siguiente, establece
que V = RI. En la ecuación, V es una constante de voltaje,
en volts, I es la corriente, en amperes, y R es la resistencia, en
ohms. A la empresa en donde usted trabaja le han pedido que sustituya
las resistencias por un circuito en donde V sea de 120 vol-
p
x
tios, e I sea de 5 ; 0.1 amperes. ¿En qué intervalo debe encontrarse
R para que I esté a menos de 1 ampere del valor I0 = 5?
¿Qué ocurre cuando un número L no es el límite
de f(x) cuando x : x0?
Podemos probar que límx:x0 ƒsxd Z L proporcionando una P70 tal
que ninguna d 7 0 satisfaga la condición
A fin de lograr lo anterior para nuestro candidato P probando que para
cada d 7 0 existe un valor de x tal que
57.
V
I
R
Para toda x, 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒƒsxd - L ƒ 6P.
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d y ƒƒsxd - L ƒ ÚP.
L
x, x 6 1
Sea ƒsxd = e
x + 1, x 7 1.
L
L
f(x)
y
0 x0 x0 x0
y x
2
1
y
y x 1
1
y f(x)
y f(x)
un valor de x para el cual
0 x x 0 y f(x) L
x
x