Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

148 Capítulo 3: Derivadas
P(x, f(x))
Q(z, f(z))
h z x
y f(x)
f(z) f(x)
x z
La derivada de f en x es
f(x h) f(x)
f'(x) lím
h→0 h
lím
z→x
f(z) f(x)
z x
La pendiente
de la secante es
f(z) f(x)
z x
FIGURA 3.1 La manera en la que
escribimos el cociente de diferencias para
la derivada de una función f depende de
cómo etiquetemos los puntos involucrados.
Usamos la notación f(x) en lugar de simplemente f en la definición, con el propósito
de hacer hincapié en la variable independiente x, con respecto a la cual estamos diferenciando.
El dominio de f' es el conjunto de puntos del dominio de f para los que existe el
límite, y puede ser el mismo o menor que el dominio de f. Si f' existe en un punto x particular,
decimos que f es diferenciable (o que tiene derivada) en x. Si f' existe en todos los
puntos del dominio de f, decimos que f es diferenciable.
Si escribimos z = x + h, entonces h = z – x y h se aproxima a 0 si y sólo si z se aproxima
a x. Por lo tanto, una definición equivalente de la derivada de una función es la siguiente
(vea la figura 3.1).
Fórmula alternativa de la derivada
ƒszd - ƒsxd
ƒ¿sxd = lím
z:x z - x .
Cálculo de derivadas a partir de la definición
El proceso para calcular una derivada se llama diferenciación. Con el propósito de hacer
hincapié en la idea de que la diferenciación es una operación que se realiza sobre una función
y = f(x), usamos la notación
como otra manera de denotar la derivada f'(x). Los ejemplos 2 y 3 de la sección 2.7 ilustran
el proceso de diferenciación para las funciones y = mx + b y y = 1Nx. El ejemplo 2 demuestra
que
Por ejemplo,
En el ejemplo 3 vemos que
A continuación se dan dos ejemplos más.
EJEMPLO 1 Aplicación de la definición
Derivar ƒsxd =
x
x - 1 .
Solución Aquí tenemos ƒsxd =
d
smx + bd = m.
dx
d
dx a3
3
x - 4b =
2 2 .
d
dx a1x b =-1 . 2 x
x
x - 1
d
dx ƒsxd