Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

266 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
4
2
1
y
–1 0
–1
1 2 3 4
–2
–3
(1, 3)
y x 1/3 (x 4)
FIGURA 4.24 La función
x decrece cuando x 6 1 , y
crece cuando x 7 1 (ejemplo 2).
1/3 ƒsxd =
sx - 4d
EJERCICIOS 4.3
Análisis de ƒ dada ƒ
x
Responda las preguntas siguientes acerca de las funciones cuyas derivadas
se dan en los ejercicios 1 a 8.
a. ¿Cuáles son los puntos críticos de f ?
b. ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente?
c. ¿En qué puntos, si hay alguno, alcanza f valores máximo y mínimo
locales?
1. 2.
3. 4. ƒ¿sxd = sx - 1d2 sx + 2d 2
ƒ¿sxd = sx - 1d 2 ƒ¿sxd = xsx - 1d
ƒ¿sxd = sx - 1dsx + 2d
sx + 2d
5.
6.
ƒ¿sxd = sx - 1dsx + 2dsx - 3d
ƒ¿sxd = sx - 7dsx + 1dsx + 5d
7. 8. ƒ¿sxd = x -1>2 ƒ¿sxd = x sx - 3d
-1>3sx + 2d
Extremos de funciones dadas
En los ejercicios 9 a 28:
a. Encuentre los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.
b. Después, identifique los valores extremos locales de la función,
si hay alguno, especificando en dónde se alcanzan.
c. ¿Cuáles de los valores extremos, si hay alguno, son absolutos?
d. Apoye tus resultados con una calculadora graficadora o computadora.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. hsrd = sr + 7d 3
ƒsrd = 3r 3 ƒsud = 6u - u
+ 16r
3
ƒsud = 3u 2 - 4u 3
hsxd = 2x 3 hsxd = -x - 18x
3 + 2x 2
gstd = -3t 2 gstd = -t + 9t + 5
2 T
- 3t + 3
El corolario 3 del teorema del valor medio, nos dice que f decrece en decrece
en (0, 1), y crece en La prueba de la primera derivada para extremos locales
nos dice que f no tiene extremos en ( no cambia de signo) y que tiene un mínimo
local en ( cambia de negativa a positiva).
El valor del mínimo local es ƒs1d = 1 Éste también es un mínimo
absoluto, porque los valores de la función decrecen al acercarse a él desde la izquierda, y
crecen al alejarse de él hacia la derecha. La figura 4.24 muestra este valor en la gráfica de
la función.
Observe que lím x:0 ƒ¿sxd = -q , de manera que la gráfica de f tiene una tangente
vertical en el origen.
1>3 s - q, 0d,
s1, q d.
x = 0 ƒ¿
x = 1 ƒ¿
s1 - 4d = -3.
17. 18. gsxd = x 4 - 4x 3 + 4x 2
ƒsxd = x 4 - 8x 2 + 16
19. 20. Kstd = 15t 3 - t 5
Hstd = 3
2 t 4 - t 6
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28. ksxd = x2>3sx 2 hsxd = x - 4d
1>3sx 2 gsxd = x
- 4d
2>3 ƒsxd = x sx + 5d
1>3 x
ƒsxd =
sx + 8d
3
3x2 ƒsxd =
+ 1
x2 gsxd = x
- 3
, x Z 2
x - 2 2 gsxd = x28 - x 25 - x
2
Valores extremos en intervalos semiabiertos
En los ejercicios 29 a 36:
a. Identifique los valores extremos locales de la función en el dominio
dado, y diga en dónde se alcanzan.
b. ¿Cuáles de los valores extremos, si hay alguno, son absolutos?
c. Apoye sus resultados con una calculadora graficadora o computadora.
29.
30.
31.
32.
33.
34. ƒstd = t 3 - 3t 2 ƒstd = 12t - t
, - q 6 t … 3
3 gsxd = -x
, -3 … t 6 q
2 gsxd = x
- 6x - 9, -4 … x 6 q
2 ƒsxd = sx + 1d
- 4x + 4, 1 … x 6 q
2 ƒsxd = 2x - x
, - q 6 x … 0
2 T
, - q 6 x … 2
35.
36. ksxd = x 3 + 3x2 hsxd =
+ 3x + 1, - q 6 x … 0
x3
3 - 2x2 + 4x, 0 … x 6 q