Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

76 Capítulo 2: Límites y continuidad
Número de moscas
350
300
250
200
150
100
50
p
P(23, 150)
Q(45, 340)
p 190
p
8.6 (moscas/día)
t
t 22
0 10 20 30 40 50
Tiempo (días)
FIGURA 2.2 Crecimiento de la población de la mosca de la
fruta en un experimento controlado. La razón de cambio
promedio en 22 días es la pendiente ∆y/∆x de la recta secante.
Este promedio es la pendiente de la secante que pasa por los puntos P y Q en la gráfica de
la figura 2.2.
Sin embargo, la razón de cambio promedio entre los días 23 y 45 calculada en el ejemplo
3 no nos indica qué tan rápido se modificó la población tan sólo el día 23. Para conocer
ese dato necesitamos examinar intervalos de tiempo más cercanos al día en cuestión.
EJEMPLO 4 La razón de crecimiento en el día 23
¿Qué tan rápido aumentó la población de moscas del ejemplo 3 el día 23?
Solución Para contestar esta pregunta, examinamos las razones de cambio promedio en
intervalos de tiempo cada vez más pequeños a partir del día 23. En términos geométricos,
para encontrar estas razones debemos calcular las pendientes de las secantes de P a Q, para
una serie de puntos Q que se acercan a P a lo largo de la curva (figura 2.3).
Los valores de la tabla muestran que las pendientes de las secantes aumentan de 8.6 a
16.4 a medida que la coordenada t de Q decrece de 45 a 30, lo que nos permitiría suponer
que las pendientes se incrementarán ligeramente a medida que t siga su camino hacia 23.
Q
Pendiente de PQ ≤p/≤t
(moscas/ día)
350
300
B(35, 350)
Q(45, 340)
(45, 340)
(40, 330)
340 - 150
45 - 23
330 - 150
40 - 23
L 8.6
L 10.6
250
200
150
P(23, 150)
(35, 310)
310 - 150
35 - 23
L 13.3
100
50
(30, 265)
265 - 150
30 - 23
L 16.4
0 10 20 30
A(14, 0) Tiempo (días)
40 50
t
FIGURA 2.3
(ejemplo 4).
Las posiciones y las pendientes de cuatro secantes por el punto P en la gráfica de las moscas de la fruta
Número de moscas
p
t