Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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598 Capítulo 8: Técnicas de integración que surgen en ingeniería y física. Éstas y varias otras, como L parecen tan sencillas que nos sentimos tentados a averiguar cómo se calculan. Sin embargo, se puede demostrar que no hay forma de expresar estas integrales como combinaciones finitas de funciones elementales. Lo mismo se aplica a integrales que puedan transformarse en las anteriores por sustitución. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1, todos los integrandos de arriba tienen antiderivadas, ya que son continuos. Sin embargo ninguna de sus antiderivadas es elemental. Ninguna de las integrales que se le pedirá evaluar en este capítulo entra en esta categoría, pero es posible que encuentre integrales no elementales en otros contextos. Integración con un software matemático <strong>Una</strong> de las capacidades más importantes de los sistemas de software matemático es la integración simbólica. Esto se realiza con un comando para integrar, específico para cada sistema particular (por ejemplo, int en Maple, Integrate en Mathematica). EJEMPLO 9 Uso de un software matemático con una función declarada Suponga que quiere evaluar la integral indefinida de la función Por medio de Maple, primero se define o declara la función: Después se utiliza el comando para integrar sobre f, identificando la variable de integración: Maple da la siguiente solución: Para averiguar si la respuesta puede simplificarse, introduzca Maple da: e x x dx, L ese x d dx, L 21 - k 2 sen 2 x dx, 0 6 k 6 1, ƒsxd = x 2 2a 2 + x 2 . 7 ƒ:= x ¿ 2 * sqrt sa ¿ 2 + x ¿ 2d; 7 intsƒ, xd; 1 4 xsa2 + x2d3>2 - 1 8 a2x2a2 + x2 - 1 8 a4 ln sx + 2a2 + x2d. 7 simplifys%d; 1 8 a2x2a2 + x2 + 1 4 x3 2a2 + x2 - 1 8 a4 ln Ax + 2a2 + x2 B . Si queremos la integral definida para 0 … x … p>2, podemos utilizar el formato 7 intsƒ, x = 0..Pi>2d; Maple (versión 5.1) dará como resultado la expresión L 1 ln x dx, ln sln xd dx, L 1 64 ps4a2 + p2ds3>2d - 1 32 a2p24a2 + p2 + 1 8 a4 ln s2d - 1 8 a4 ln Ap + 24a 2 + p 2 B + 1 16 a4 ln sa 2 d. L sen x x dx,
También se puede hallar la integral definida para un valor particular de la constante a: Maple da esta respuesta numérica EJEMPLO 10 Uso de un software matemático sin definir la función Utilice un software matemático para determinar Solución En Maple introducimos (recuerde escribir sin en lugar de sen, ya que este tipo de software admite los comandos en inglés; asimismo, recuerde que las respuestas se dan también en dicho idioma) y obtenemos EJEMPLO 11 El software matemático podría no dar una solución en forma cerrada Utilice un software matemático para determinar Solución Con Maple, introduzca y Maple responde con la expresión L con lo que indica que no tiene una solución en forma cerrada. En el capítulo 11 veremos cómo el desarrollo en serie puede ayudar a evaluar integrales como ésta. arccossaxd2 dx, En los distintos paquetes de software matemático, la forma en que se procesan las integraciones varía. En los ejemplos 9 a 11 utilizamos Maple 5.1. Mathematica habría dado resultados un poco diferentes: 1. En el ejemplo 9, dada Mathematica da 8.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 599 7 a:= 1; In [1]:= Integrate [x ¿ 2 * Sqrt [a ¿ 2 + x ¿ 2], x] Out [1]= 2a 2 + x 2 a a2 x 8 7 intsƒ, x = 0..1d; 3 1 22 + ln A 22 - 1B . 8 8 L sen2 x cos 3 x dx. 7 int sssin ¿ 2dsxd * scos ¿ 3dsxd, xd; - 1 5 sinsxd cossxd4 + 1 15 cossxd2 sinsxd + 2 15 sinsxd. L scos-1 axd 2 dx. 7 intssarccossa * xdd ¿ 2, xd; x3 1 + b - 4 8 a4 Log Cx + 2a2 + x2 D sin tener que simplificar un resultado intermedio. La respuesta es parecida a la fórmula 22 en las tablas de integrales.
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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5 4 3 2 1 y dilatar comprimir y 3x
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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31. Comenzando con la identidad sen
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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20. Sea ƒsxd = s3 a. Haga una tabl
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Es fácil convencernos de que las p
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2 3 0 3 2 0 y (a) y (b) y (1, 3) x
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Teoría y ejemplos 53. Si para x en
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L 1 10 L L 1 10 0 y y f(x) x 0 L
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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13. 14. Determinación algebraica d
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58. a. Sea P=1>2. Demuestre que nin
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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7. a. Grafique b. Encuentre y límx
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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5. a. ¿ existe? b. ¿ existe? c.
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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0 y h y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h))
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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4. Suponga que f(x) y g(x) están d
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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Pendiente 0 A A' 10 5 B 4 unidades
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0 y y ⏐x⏐ y' -1 y' 1 y' no es
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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. Grafique la derivada de f. La gr
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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2 1 y y 3x 2 Pendiente 3(2x) 6x
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tenemos EJEMPLO 9 Dos métodos para
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3.3 La derivada como razón de camb
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Distancia (pies) 800 700 s 3.3 La d
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t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s
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0 y (dólares) Pendiente costo marg
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1 y 0 1 1 y' 0 1 y cos x x y'
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3.4 Derivadas de funciones trigonom
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En los ejercicios 37 y 38, determin
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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EJERCICIOS 3.5 Cálculo de derivada
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Identifique la trayectoria de la pa
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y y = 1 2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x - C 3
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EJERCICIOS 3.6 Derivadas de potenci
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69. Normal que interseca ¿En qué
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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y(t) y 0 14. Tránsito aéreo comer
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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dr 0.1 a 10 A ≈ dA 2a dr FIGUR
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ferenciable de x. Con mayor precisi
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EJERCICIOS 3.8 Determinación de li
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0.5 pulg. 6 pulg. 30 pulg. 46. Esti
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Daniel Bernou
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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Extremos absolutos en intervalos ce
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T T 70. Funciones sin valores extre
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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4.3 Funciones monótonas y el crite
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T Calculadora graficadora o computa
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y'' 0 -1 2 1 0 y y x 4 1 FIGURA 4
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4.4 Concavidad y trazado de curvas
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Teoría y ejemplos 53. Una desigual
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Precaución Para aplicar la regla d
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4.8 Antiderivadas 4.8 Antiderivadas
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4. Encuentre los valores de a y b t
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Tanque lleno, parte superior h y 0
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Control de la contaminación 19. Co
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EJEMPLO 2 Uso de diferentes valores
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Exprese las sumas de los ejercicios
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cambiaría, así como el signo del
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En resumen, todas las sumas de Riem
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Uso de las propiedades y los valore
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78. Sumas superior e inferior para
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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Demostración Sea F cualquier antid
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Richard Dedek
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86. Los paracaidistas A y B están
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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0 y a S x k1 xk FIGURA 6.3 Una plac
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R(x) -x 3 R(x) -x 3 (-2, 5) r(x
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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12. y = 3> A22xB, y = 0, x = 1, x =
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0 y A P 0 P 1 P k-1 C B P n FIGUR
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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0 y x y c.m. x x Línea de equilib
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Cómo determinar el centro de masa
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y a 2 x 2 -a 0 a y (a) a c.m. -a
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punto que está a un tercio de la d
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
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7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
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Ejercicios prácticos, páginas 388
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Ejercicios de práctica, páginas 4
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13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
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Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
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Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
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3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
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Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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