Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
26. Drenado de un tanque El número de galones de agua que hay
en un tanque t minutos después de que éste empezó a vaciarse es
Q(t) = 200(30 – t) 2 . ¿Qué tan rápido salía el agua al transcurrir 10
min? ¿Cuál es la razón promedio a la que el agua sale durante los
primeros 10 min?
27. Drenado de un tanque Para drenar por completo un tanque de
almacenamiento se necesitan 12 horas; el fluido del tanque sale al
abrir una válvula en su base. La profundidad y del fluido en el
tanque t horas después de abrir la válvula está dada por la fórmula
y = 6 a1 - t
12 b
2
m.
a. Encuentre la razón dyNdt(m/h) a la que el tanque está drenando
en el tiempo t.
b. ¿En qué momento está descendiendo más rápido el nivel del
fluido en el tanque? ¿En qué momento lo hace más despacio?
¿Cuáles son los valores de dyNdt en esos tiempos?
c. Grafique juntas y y dyNdt, y discuta el comportamiento de y
en relación con los signos y valores de dyNdt.
28. Inflado de un globo El volumen de un globo esférico
cambia de acuerdo con su radio.
a. ¿A qué razón (pie 3 Npie) cambia el volumen con respecto al radio
cuando r = 2 pies?
b. ¿Cuánto crece aproximadamente el volumen cuando el radio
cambia de 2 a 2.2 pies?
29. Despegue de un aeroplano Suponga que la distancia recorrida
por un aeroplano a lo largo de una pista antes del despegue está
dada por D = (10N9)t 2 V = s4>3dpr
, donde D se mide en metros desde el punto
de inicio, y t se mide en segundos desde el momento en que se
quitan los frenos. El aeroplano despegará en el instante que alcance
200 kmNh. ¿Cuánto tiempo tarda en despegar y qué distancia
recorrerá en ese tiempo?
30. Brotes de lava volcánica A pesar de que la erupción del volcán
hawaiano Kilauea Iki, en noviembre de 1959, empezó con una línea
de brotes de lava a lo largo de la pared del cráter, más tarde la
actividad se concentró en un solo orificio ubicado en el piso del
cráter. En un momento dado, la lava lanzada desde dicho orificio
alcanzó una altura de 1900 pies (un récord mundial). ¿Cuál fue la
velocidad de salida de la lava en pies por segundo? ¿En millas por
hora? (Sugerencia: Si v0 es la velocidad de salida de una partícula
3
3.4
de lava, su altura t segundos más tarde será s = y 0t – 16t 2 pies.
Empiece por determinar el tiempo en el que dsNdt = 0. Desprecie
la resistencia del aire).
En los ejercicios 31 a 34 se da la función de posición s = f(t) de un objeto
que se mueve a lo largo del eje s como una función del tiempo t.
Grafique f junto con la función velocidad y la
función de aceleración astd = d Comente el comportamiento
del objeto en relación con los signos y valores de y y a. Incluya
en su comentario temas como los siguientes:
2 s>dt 2 T
ystd = ds>dt = ƒ¿std
= ƒ–std.
a. ¿En qué momento el objeto está momentáneamente en reposo?
b. ¿Cuándo se mueve a la izquierda (abajo) o a la derecha (arriba)?
c. ¿Cuándo cambia de dirección?
d. ¿En qué momento aumenta o disminuye su rapidez?
e. ¿Cuándo se mueve a su máxima velocidad? ¿Cuándo lo hace
a la mínima?
f. ¿Cuándo está más lejos del origen?
31. s = 200t - 16t (un objeto pesado lanzado
verticalmente desde la superficie terrestre, a 200 piesNseg)
2 , 0 … t … 12.5
32.
33.
34.
Derivadas de funciones trigonométricas
3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 183
s = 4 - 7t + 6t 2 - t 3 s = t
, 0 … t … 4
3 - 6t 2 s = t
+ 7t, 0 … t … 4
2 - 3t + 2, 0 … t … 5
35. Carrera de caballos pura sangre En un hipódromo un caballo
de raza pura realiza una competencia de 10 estadios (un estadio
equivale a 220 yardas, aunque usaremos en este ejercicio estadios
y segundos como unidades). A medida que el caballo pasa cada
marca de estadio (F), un juez registra el tiempo transcurrido (t)
desde el inicio de la carrera, con los resultados que se muestran
en la tabla:
F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 0 20 33 46 59 73 86 100 112 124 135
a. ¿Cuánto tarda el caballo en terminar la carrera?
b. ¿Cuál es la rapidez promedio del caballo durante los primeros
5 estadios?
c. ¿Cuál es la rapidez aproximada del caballo cuando pasa por la
marca de los 3 estadios?
d. ¿En qué parte de la carrera el caballo corre más rápido?
e. ¿En qué parte de la carrera el caballo acelera más rápido?
Muchos de los fenómenos de los que requerimos información muestran un comportamiento
más o menos periódico (campos electromagnéticos, ritmos cardiacos, mareas, clima). Las
derivadas de senos y cosenos juegan un papel clave en la descripción de cambios periódicos.
En esta sección se mostrará cómo derivar las seis funciones trigonométricas básicas.
Derivada de la función seno
Para calcular la derivada de f(x) = sen x, para x medido en radianes, combinamos los límites
del ejemplo 5a y del teorema 7 de la sección 2.4, con la identidad para la suma de ángulos:
sen sx + hd = sen x cos h + cos x sen h.