Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4.4 Concavidad y trazado de curvas 271
(e) Trazar algunos puntos específicos, tales como los puntos máximos y mínimos locales,
los puntos de inflexión y las intersecciones con los ejes. Después, dibujar la curva.
Solución f es continua, ya que ƒ¿sxd = 4x existe. El dominio de f es
s - q, q d, y el dominio de ƒ¿ también es s - q, q d. Por lo tanto, los puntos críticos de f
se alcanzan solamente en los ceros de ƒ¿ . Como
3 - 12x2 la primera derivada es cero en x = 0 y en x = 3.
Intervalos
Signo de ƒ
Comportamiento
-
-
+
de ƒ crecimiento decrecimiento crecimiento
œ
x 6 0 0 6 x 6 3 3 6 x
(a) Usando la prueba de la primera derivada para extremos locales y la tabla anterior, vemos
que no existe un extremo en , ni un mínimo local en
(b) Usando la tabla anterior, vemos que f es decreciente en y [0, 3], y creciente
en
(c) ƒ–sxd = 12x es cero en x = 0 y x = 2.
2 x = 0
x = 3.
s - q, 0]
[3, q d.
- 24x = 12xsx - 2d
Intervalos
Signo de ƒ +
-
+
Comportamiento cóncavo cóncavo cóncavo
de ƒ hacia arriba hacia abajo hacia arriba
œ
x 6 0 0 6 x 6 2 2 6 x
Vemos que f es cóncava hacia arriba en los intervalos s - q, 0d y s2, q d, y cóncava hacia
abajo en (0, 2).
(d) Resumiendo la información de las dos tablas anteriores, obtenemos
x