Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
37. Sea
Explique por qué algunas gráficas de f pueden dar información
falsa acerca de límx:0 ƒsxd. (Sugerencia: Intente con una ventana
de [-1, 1] por [-0.5, 1] ).
38. Encuentre todos los valores de c que satisfagan la conclusión del
teorema del valor medio de Cauchy para las funciones e intervalos
dados.
a. ƒsxd = x, gsxd = x 2 , sa, bd = s -2, 0d
b.
ƒsxd =
ƒsxd = x, gsxd = x 2 , sa, bd arbitrario
c. ƒsxd = x
39. En la figura siguiente, el círculo tiene radio OA igual a 1 y AB es
tangente al círculo en A. El arco AC tiene medida u en radianes, y
el segmento AB también tiene longitud u.
La recta que pasa por B
y C cruza el eje x en P(x, 0).
a. Demuestre que la longitud de PA es
3 >3 - 4x, gsxd = x 2 , sa, bd = s0, 3d
1 - x =
1 - cos x6
x 12 .
us1 - cos ud
u - sen u .
b. Encuentre lím s1 - xd.
u:0
c. Pruebe que lím [s1 - xd - s1 - cos ud] = 0.
u: q
4.7
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Niels Henrik Abel
(1802–1829)
El método de Newton
Interpreta esto geométricamente.
4.7 El método de Newton 299
40. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de longitud 1, otro de longitud
y y la hipotenusa de longitud r. El ángulo opuesto a y mide
u. radianes. Encuentre el límite, cuando u : p>2 de
a. r - y.
b.
r 2 - y 2 .
c. r 3 - y 3 .
P(x, 0)
O
y
r
C
D
1
B(1, )
A(1, 0)
Uno de los problemas básicos en matemáticas es resolver ecuaciones. Usando las fórmulas
de la ecuación cuadrática, sabemos cómo encontrar un punto (solución) donde
Hay fórmulas más complicadas para resolver ecuaciones cúbicas (cuádricas
o cuárticas) (polinomios de grado 3 o 4), pero el matemático noruego Niels Abel
probó que no existe una fórmula para resolver polinomios de grado cinco. Tampoco hay
un fórmula para resolver ecuaciones como sen x = x que involucre funciones transcendentes
así como polinomiales u otras funciones algebraicas.
En esta sección estudiaremos un método numérico, llamado método de Newton o método
de Newton-Raphson, que es una técnica de aproximación a la solución de una ecuación
ƒsxd = 0. En esencia, este método usa rectas tangentes en lugar de la gráfica de
y = ƒsxd cerca de los puntos donde f es cero. (Un valor de x donde f es cero es una raíz
de la función f y una solución de la ecuación ƒsxd = 0).
2 x
,
2 - 3x + 2 = 0.
Procedimiento del método de Newton
El objetivo del método de Newton para estimar una solución de una ecuación ƒsxd = 0 es
producir una sucesión de aproximaciones que se acerquen a la solución. Escogemos el primer
número x0 de la secuencia. Luego, en circunstancias favorables, el método hace el resto
moviéndose paso a paso hacia un punto donde la gráfica de f cruza el eje x (figura 4.43).
y
x