Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

674 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
En el sistema de unidades inglés, en donde
el peso se mide en libras, la masa se mide
en slugs. Así,
Libras = slugs 32,
suponiendo que la constante gravitacional
es 32 pies/s 2 .
Por lo tanto, la posición del cuerpo en el instante t es
Para determinar la distancia que el cuerpo se deslizará, determinamos el límite de s(t)
cuando Como sabemos que e cuando t : q , de modo
que
-sk>mdt t : q . -sk>md 6 0,
: 0
Así,
sstd =-
y0 m
k e -sk>mdt +
y0 m
lím sstd = lím
t: q t: q k s1 - e -sk>mdtd Distancia recorrida =
Por supuesto, ésta es una cifra ideal. Sólo en matemáticas podemos extender el tiempo
a infinito. El número y0 es únicamente una cota superior (aunque una muy útil). Esto es
cierto en la vida real por lo menos en un sentido: si m es grande, detener el cuerpo
requerirá un gran consumo de energía. Ésta es la razón por la que los transatlánticos tienen
que ser fondeados por medio de remolcadores. Cualquier transatlántico convencional que
entrara a puerto con suficiente velocidad para navegar, chocaría contra el muelle antes de
poderse detener.
m>k
EJEMPLO 1 Deslizamiento de un patinador sobre hielo
Para un patinador de 192 lb, la k en la ecuación (1) es aproximadamente 1> 3 slug> s y m =
192> 32 = 6 slugs. ¿Cuánto tardará el patinador en deslizarse de 11 pies> s (7.5 mph) a
1 pie> s? ¿Cuánto recorrerá antes de detenerse por completo?
Solución Respondemos la primera pregunta despejando t de la ecuación (1):
11e -t>18 = 1
e -t>18 = 1>11
Respondemos la segunda pregunta con la ecuación (3):
Distancia recorrida =
Modelación de crecimiento poblacional
-t>18 = ln s1>11d = -ln 11
En la sección 7.5 modelamos el crecimiento de la población por medio de la ley de cambio
exponencial:
dP
dt
= y0 m
k
y0 m
k
s1 - 0d = y0 m
k .
y0 m
k .
t = 18 ln 11 L 43 segundos.
y0 m
k = 11 # 6
1>3
= 198 pies.
= kP, Ps0d = P0
= y0 m
k s1 - e -sk/mdt d.
(2)
(3)
Ecuación (1) cuando k = 1>3,
m = 6, y0 = 11, y = 1