Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
0
1
0
y
y
y 1 x 2
(a)
y 1 x 2
(b)
FIGURA 5.4 (a) Una suma inferior,
usando 16 rectángulos del mismo ancho
¢x = 1>16.
(b) Una suma superior,
usando 16 rectángulos.
1
1
x
x
1
0.5
0
y
⎛1
, 15
⎝4
16
0.25 0.5 0.75 1
Considerando ambas sumas inferior y superior no sólo tenemos una estimación para
el área, sino también una cota del tamaño del posible error en estas estimaciones, ya que el
valor verdadero del área está entre ellas. Aquí el error no puede ser mayor que la diferencia
0.78125 - 0.53125 = 0.25.
Además, se puede obtener otra estimación usando rectángulos cuyas alturas sean los
valores de F en los puntos medios de sus bases (figura 5.3b). Este método de estimación
se llama regla del punto medio para aproximar el área. La regla del punto medio da una
estimación que está entre la suma inferior y la suma superior, pero no es claro si sobreestima
o subestima el área verdadera. Con cuatro rectángulos de ancho de 1>4 como antes, la
regla del punto medio estima que el área de R es
A L 63 # 1
64 4
⎛ ⎝
⎛1
, 3
⎝2
4
(a)
⎛ ⎝
y 1 x 2
⎛3
, 7
⎝4
16
55
+ # 1
64 4
⎛ ⎝
x
39
+ # 1
64 4
5.1 Estimación con sumas finitas 327
15
+ # 1
64 4
0.125 0.25 0.375 0.5
0.625 0.75 0.875 1
172
= # 1
64 4
En cada una de nuestras sumas, el intervalo [a, b] sobre el que la función f está definida,
fue subdividido en n subintervalos de igual ancho (también llamado longitud)
¢x = sb - ad>n, y f se evaluó en un punto en cada subintervalo: c1 del primer subintervalo,
c2 del segundo subintervalo, y así sucesivamente. De esta manera, la suma finita tiene
la forma
ƒsc1d ¢x + ƒsc2d ¢x + ƒsc3d ¢x + Á + ƒscnd ¢x.
= 0.671875.
Tomando más y más rectángulos, cada vez más delgados que antes, parece que esta suma
finita da cada vez mejores aproximaciones del área verdadera de la región R.
La figura 5.4a muestra una aproximación con suma inferior para el área de R usando
16 rectángulos de igual ancho. La suma de sus áreas es 0.634765625, que parece cercana
al área verdadera pero sigue siendo menor, ya que los rectángulos están dentro de R.
La figura 5.4b muestra una aproximación con suma superior usando 16 rectángulos
de igual ancho. La suma de sus áreas es 0.697265625, que es un poco mayor que el área
verdadera, porque los rectángulos tomados en conjunto contienen a R. La regla del punto
medio para 16 rectángulos da una aproximación del área total de 0.6669921875, pero no
resulta claro si esta estimación es mayor o menor que el área verdadera.
1
0.5
0
y
⎛1
, 63
⎝8
64
⎛ ⎝
⎛3
, 55
⎝8
64
(b)
⎛ ⎝
y 1 x 2
⎛5
, 39
⎝8
64
⎛ ⎝
⎛7
, 15
⎝8
64
FIGURA 5.3 (a) Los rectángulos contenidos en R dan una estimación del área inferior a
su valor real. (b) La regla del punto medio usa rectángulos cuya altura es el valor de
y = ƒsxd en el punto medio de sus bases.
⎛ ⎝
x