Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
2
1
0 1 2
y 2 x
y x
y log 2x
FIGURA 7.13 La gráfica de 2 x y su
inversa, log 2 x.
x
Al integrar con respecto de x, resulta
L
Escribiendo la primera integral en forma diferencial, se obtiene
7.4 a y loga x 497
x
au du
dx dx = L 1
ln a d
dx sau d dx = 1
ln a L d
dx sau d dx = 1
ln a au + C.
L au du = au
ln a
+ C.
EJEMPLO 3 Integración de funciones exponenciales generales
(a) Ecuación (2) con a = 2, u = x
L 2x dx = 2x
+ C
ln 2
(b)
L 2sen x cos x dx
= L 2 u du = 2u
ln 2
= 2sen x
ln 2
+ C
Logaritmos con base a
+ C
u = sen x, du = cos x dx, y ecuación (2)
u reemplazada por sen x
Como vimos anteriormente, si a es cualquier número positivo diferente de 1, la función a x
es inyectiva y tiene una derivada diferente de cero en todo punto. Por lo tanto, tiene una inversa
diferenciable. A esta inversa la llamamos logaritmo de x en base a y la denotamos
mediante log a x.
DEFINICIÓN loga x
Para cualquier número positivo a Z 1,
es la función inversa de ax loga x
.
La gráfica de y = log a x se puede obtener reflejando la gráfica de y = a x con respecto
de la recta de 45°, y = x (figura 7.13). Cuando a = e, tenemos log e x = inversa de e x = ln x.
Como log a x y a x son inversas entre sí, su composición, en cualquier orden, produce la función
identidad.
Ecuaciones inversas para y
loga sax a
d = x stoda xd
loga
loga x
x = x sx 7 0d
a x
(2)
(3)
(4)