Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
0
y
a
y
1
x
Área 2 2a
1
FIGURA 8.21 El área debajo de esta
curva es
lím
a:0 +
La
1
x
a 1
b dx = 2,
2x
una integral impropia de segundo tipo.
Considere la región en el primer cuadrante que está debajo de la curva y = 1> 1x,
de x = 0 a x = 1 (figura 8.17b). Primero determinamos el área de la parte de a a 1 (figura
8.21).
Después determinamos el límite de esta área cuando a : 0 + :
lím
a:0 +
La
La
El área debajo de la curva de 0 a 1 es finita e igual a
1
L0
1
dx
1x = 21x d 1
= 2 - 21a
a
1
dx
1x
dx
1x
= lím A2 - 21aB = 2.
+ a:0
= lím
a:0 +
La
1
dx
1x
8.8 Integrales impropias 623
= 2.
DEFINICIÓN Integrales impropias del tipo II
Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto dentro del intervalo
de integración son integrales impropias del tipo II.
1. Si f (x) es continua en (a, b] y discontinua en a, entonces
ƒsxd dx =
La
lím
c:a
2. Si f (x) es continua en [a, b) y discontinua en b, entonces
+ ƒsxd dx.
Lc
ƒsxd dx =
La
lím
c:b
3. Si f (x) es discontinua en c, donde a 6 c 6 b, y continua en [a, c) ´ (c, b], entonces
- ƒsxd dx.
La
b
b
b
ƒsxd dx = ƒsxd dx +
La
La
Lc
c
En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y
que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral
diverge.
b
c
b
ƒsxd dx.
En la parte 3 de la definición, la integral del lado izquierdo de la ecuación converge si ambas
integrales del lado derecho convergen; de otra forma, diverge.
EJEMPLO 4 Una integral impropia divergente
Investigue la convergencia de
L0
1
1
1 - x dx.