Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

356 Capítulo 5: Integración
p
85. 86.
87.
88.
2
(El valor de la integral es aproximadamente 0.693).
L1
1 x dx
ƒ ƒ
1
L0
sec
x dx = 1
L-1
2 cos x dx = 0
L-p
x dx = 1
Valor promedio
En los ejercicios 89 a 92, use un software matemático para realizar los
siguientes pasos:
a. Trace las funciones en el intervalo dado.
b. Haga una partición del intervalo en n = 100, 200, y 1000 subintervalos
de la misma longitud, y evalúe la función en el punto
medio de cada subintervalo.
5.4
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Sir Isaac Newton
(1642–1727)
y
y f(x)
0 a c
b a
b
p/4
c. Calcule el valor promedio de los valores de la función generados
en el inciso (b).
d. Resuelva la ecuación ƒsxd = svalor promediod para x usando el
valor promedio calculado en el inciso (c) para la partición
n = 1000.
89.
90.
91.
El teorema fundamental del cálculo
f(c),
altura
promedio
FIGURA 5.16 El valor f (c) en el
teorema del valor medio es, en cierto
sentido, la altura promedio (o media)
de f en [a, b]. Cuando ƒ Ú 0, el área
del rectángulo es el área debajo de la
gráfica de f de a a b,
ƒscdsb - ad = ƒsxd dx.
La
b
x
ƒsxd = sen x en [0, p]
ƒsxd = sen 2 x en [0, p]
ƒsxd = x sen 1 x
92. ƒsxd = x sen 2 1 x
en cp,
p d
4
en cp,
p d
4
En esta sección presentaremos el teorema fundamental del cálculo, que es el teorema central
del cálculo integral. Dicho teorema conecta la integración con la derivación, permitiéndonos
calcular integrales usando una antiderivada de la función en lugar de tomar límites de
las sumas de Riemann, como hicimos en la sección 5.3. Leibniz y Newton explotaron esta
relación y empezaron el desarrollo matemático que fue el combustible de la revolución
científica durante los siguientes 200 años.
Durante nuestro análisis presentaremos la versión integral del teorema del valor medio,
que es otro teorema importante del cálculo integral, y lo usaremos para probar el teorema
fundamental.
Teorema del valor medio para integrales definidas
En la sección anterior definimos el valor promedio de una función continua en un intervalo
cerrado [a, b] como la integral definida 1 dividida entre b - a que es la longitud
o ancho del intervalo. El teorema del valor medio para integrales definidas afirma que
la función f alcanza siempre, por lo menos una vez en el intervalo, el valor promedio.
La gráfica de la figura 5.16 muestra una función continua positiva y = ƒsxd definida
en el intervalo [a, b]. Geométricamente, el teorema del valor medio dice que existe un número
c en [a, b] tal que el rectángulo con altura igual al valor promedio f (c) de la función
y el ancho de la base b - a tiene exactamente la misma área que la región que está debajo
de la gráfica de f, de a a b.
b
a ƒsxd dx
TEOREMA 3 Teorema del valor medio para integrales definidas
Si f es continua en [a, b], entonces en algún punto c en [a, b],
ƒscd =
1
b - a
b
ƒsxd dx.
La