Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0.4
0.3
0.2
0.1
2p p
p
0
y
2p
FIGURA 2.58 La gráfica sugiere que
y = ƒ sx sen xd>sx es continua
(ejemplo 8d).
2 + 2d ƒ
x
Solución
(a) La función raíz cuadrada es continua en ya que es una potencia racional de la
función identidad continua (parte 6, teorema 9). En consecuencia, la función
dada es la composición de la función polinomial f(x) = x 2 [0, q d
ƒsxd = x
– 2x – 5 con la función
raíz cuadrada gstd = 2t.
(b) El numerador es una potencia racional de la función identidad; el denominador es
una función polinomial positiva en todos sus puntos. Por lo tanto, el cociente es continuo.
(c) El cociente sx - 2d>sx es continuo para todo x Z ;22, y la función es la
composición de este cociente con la función continua valor absoluto (ejemplo 7).
2 - 2d
(d) Debido a que la función seno es continua en todos sus puntos (ejercicio 62), el término
del numerador x sen x es el producto de funciones continuas, y el término del denominador
x 2 + 2 es una función polinomial positiva en todos sus puntos. La función dada
es la composición de un cociente de funciones continuas con la función continua valor
absoluto (figura 2.58).
Extensión continua para un punto
La función y = (sen x)/x es continua en todos los puntos, excepto en x = 0. En este punto es
parecida a la función y = 1/x. Pero y = (sen x)/x es distinta de y = 1/x, toda vez que tiene un
límite finito cuando x : 0 (teorema 7). Por lo tanto, es posible extender el dominio de la
función para incluir el punto x = 0 de tal manera que la función extendida es continua en
x = 0. Definimos
La función F(x) es continua en x = 0, ya que
(figura 2.59).
p
2
⎛
⎝
p ,
2 p
0
y
(a)
(0, 1)
2 ⎛ ⎝
⎛ ⎝
Fsxd = L
f(x)
, 2
p
p 2
⎛ ⎝
sen x
x , x Z 0
1, x = 0.
sen x
lím
x:0 x = Fs0d
p
2
x
p
2
⎛
⎝
p ,
2 p
⎛ ⎝
2.6 Continuidad 129
0
y
(b)
(0, 1)
2 ⎛ ⎝
F(x)
, 2
p
p 2
FIGURA 2.59 La gráfica (a) de ƒsxd = ssen xd>x
para -p>2 … x … p>2 no incluye el
punto (0, 1), ya que la función no está definida en x = 0. (b) Podemos eliminar la
discontinuidad de la gráfica definiendo la nueva función F(x) con F(0) = 1 y F(x) = f(x)
en cualquier otro lado. Observe que Fs0d = lím ƒsxd.
x:0
p
2
⎛ ⎝
x