Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

234 Capítulo 3: Derivadas
60. Demuestre que la aproximación de tan x por su linealización en el
origen debe mejorar cuando x : 0,
probando
61. La linealización es la mejor aproximación lineal (Ésta es la
razón por lo que usamos la linealización). Suponga que y = ƒsxd
es diferenciable en x = a, y que gsxd = msx - ad + c es una
función lineal en donde m y c son constantes. Si el error
Esxd = fsx) - g(x) es suficientemente pequeño cerca de x = a,
podemos pensar en usar g como una aproximación lineal de f en
lugar de la linealización Lsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad. Demuestre
que si le imponemos a g las condiciones
1. Esad = 0
La aproximación del error es cero en x = a.
2.
lím
x:a Esxd
x - a = 0
tan x
lím
x:0 x = 1.
Entonces, gsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad. De esta manera, la linealización
L(x) da la única aproximación lineal cuyo error es cero
en x = a y despreciable cuando la comparamos con x - a.
La linealización, L(x):
y f(a) f'(a)(x a)
(a, f(a))
Alguna otra
aproximación
lineal g(x):
y m(x a) c
62. Aproximaciones cuadráticas
a. Sea Qsxd = b0 + b1sx - ad + b2sx - ad una aproximación
cuadrática de f(x) en x = a con las propiedades
i. Qsad = ƒsad
ii. Q¿sad = ƒ¿sad
iii. Q–sad = ƒ–sad
Determine los coeficientes y b2.
2
T
T
T
El error es despreciable cuando lo comparamos
con x – a.
b0, b1
b. Encuentre la aproximación cuadrática de ƒsxd = 1>s1 - xd
en x = 0.
c. Grafique ƒsxd = 1>s1 - xd y su aproximación cuadrática en
x = 0. Después haga un acercamiento en el punto (0,1) de ambas
gráficas. Comente sus hallazgos.
d. Encuentre la aproximación cuadrática de gsxd = 1>x en
x = 1. Grafique juntas g y su aproximación cuadrática. Comente
sus hallazgos.
e. Encuentre la aproximación cuadrática de h(x) 21 + x en
x = 0. Grafique juntas h y su aproximación cuadrática. Comente
sus hallazgos.
f. ¿Cuáles son las linealizaciones de f, g y h en los respectivos
puntos de los incisos (b), (d) y (e).
a
y f(x)
x
T
T
63. Lectura de derivadas a partir de las gráficas La idea de que
las curvas diferenciables se aplanan cuando se amplían puede ser
usada para estimar los valores de las derivadas de funciones en
puntos particulares. Ampliamos la curva hasta que la porción que
vemos parece una recta que pasa por el punto en cuestión, y entonces
usamos la cuadrícula coordenada de la pantalla para leer la pendiente
de la curva como la pendiente de la recta a la que se parece.
a. Para ver cómo funciona el proceso, inténtelo primero con la
función La pendiente que lea debe ser 2.
b. Después inténtelo con la curva en
. En cada caso, compare su estimación de la
derivada con el valor de e en el punto. ¿Qué patrón ve? Pruébelo
con otros valores de x.
En el capítulo 7 se explica lo que sucede en este caso.
64. Suponga que la gráfica de una función diferenciable f(x) tiene una
tangente horizontal en x = a. ¿Se puede decir algo acerca de la linealización
de f en x = a? Justifique su respuesta.
65. ¿A qué velocidad relativa debe acelerarse un cuerpo en reposo para
aumentar su masa en 1 por ciento?
66. Sacar raíz repetidamente
a. Teclee 2 en su calculadora y saque raíces cuadradas sucesivamente
presionando la tecla de raíz cuadrada varias veces (o
eleve a la potencia 0.5 repetidamente el número mostrado).
¿Qué patrón surge? Explique qué está pasando. ¿Qué sucede
si se sacan raíces décimas?
b. Repita el procedimiento con 0.5 en lugar de 2 como dato original.
¿Qué sucede ahora? ¿Puede usar cualquier número positivo
x en lugar de 2? Explique qué está pasando.
x
y = e
x = 0 y x = –1
x y = x
en x = 1,
2 en x = 1.
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Comparación de funciones con sus linealizaciones
En los ejercicios 67 a 70, use un software matemático para estimar la
magnitud del error al usar la linealización en lugar de la función en un
intervalo específico I. Realice los pasos siguientes:
a. Dibuje la función f en I.
b. Encuentre la linealización L de la función en el punto a.
c. Dibuje juntas f y L en un solo plano.
d. Dibuje el error absoluto ƒ ƒsxd - Lsxd ƒ en I y encuentre su valor
máximo.
e. A partir de la gráfica del inciso (d), estime tan grande como pueda
d 7 0 para que se satisfaga
ƒ x - a ƒ 6 d Q ƒƒsxd - Lsxd ƒ 6P
para Después verifique gráficamente para ver
si su estimación de sigue siendo correcta.
67.
68.
69. ƒsxd = x
70. ƒsxd = 1x - sen x, [0, 2p], a = 2
2>3 x - 1
ƒsxd =
4x
sx - 2d, [-2, 3], a = 2
2 ƒsxd = x
3 1
, c- , 1 d, a =
+ 1 4 2
3 + x 2 P=0.5, 0.1 y 0.01.
d
- 2x, [-1, 2], a = 1