Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
288 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
27. Construcción de conos Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa
mide 23 m de largo se gira alrededor de uno de sus catetos
para generar un cono circular recto. Encuentre el radio, la altura y
el volumen del cono de mayor volumen que se pueda hacer de esta
manera.
28. ¿Qué valores de a hacen que tenga
a. un máximo local en
b. un punto de inflexión en
29. Demuestre que no puede tener un máximo local
para ningún valor de a.
30. ¿Qué valores de a y b hacen que ƒsxd = x tenga
a. un máximo local en x = -1y
un mínimo local en x = 3?
b. un mínimo local en x = 4 y un punto de inflexión en x = 1?
3 + ax2 ƒsxd = x
+ bx
2 ƒsxd = x
x = 2?
x = 1?
+ sa>xd
2 + sa>xd
Aplicaciones físicas
31. Movimiento vertical La altura de un objeto que se mueve verticalmente
está dada por
s = -16t 2 + 96t + 112,
con s en pies y t en segundos. Encuentre
a. la velocidad del objeto cuando t = 0
b. su altura máxima y en dónde la alcanza.
c. su velocidad cuando s = 0.
32. La ruta más rápida Juana está en una lancha a 2 millas de la
orilla y quiere llegar a un pueblo costero que está a 6 millas en línea
recta desde el punto de la orilla que es más cercano a la lancha.
Ella puede remar a 2 millas/hora y caminar a 5 millas/hora.
¿Dónde debe dejar la lancha para alcanzar el pueblo en el tiempo
mínimo?
33. La viga más corta La pared de 8 pies que se muestra aquí está
a 27 pies del edificio. Encuentre la viga recta de longitud más
corta que alcance el lado del edificio desde el piso que está al otro
lado de la pared.
Viga
h
8' pared
Edificio
34. Resistencia de una viga La resistencia S de una viga de madera
rectangular es proporcional a su ancho por el cuadrado de su espesor.
(Vea la figura siguiente).
r
27'
3
T
a. Encuentre las dimensiones de la viga más resistente que se
puede cortar de un tronco cilíndrico de 12 pulgadas de diámetro.
b. Grafique S como una función del ancho w de la viga, aceptando
que la constante de proporcionalidad es k = 1. Compare
lo que ve con la respuesta que dio al inciso (a).
c. En la misma pantalla, grafique S como función del espesor d
de la viga, tomando nuevamente k = 1. Compare lo que ve
en ambas gráficas con la respuesta que dio en el inciso (a).
¿Qué efecto tendría cambiar k por algún otro valor? Inténtelo.
35. Rigidez de una viga La rigidez S de una viga rectangular es
proporcional a su ancho por el cubo de su espesor.
a. Encuentre las dimensiones de la viga más rígida que se puede
cortar de un tronco cilíndrico de 12 pulgadas de diámetro.
b. Grafique S como una función del ancho w de la viga, aceptando
que la constante de proporcionalidad es k = 1. Compare
el resultado con la respuesta que dio al inciso (a).
c. En la misma pantalla, grafique S como función del espesor d
de la viga, tomando nuevamente k = 1. Compare lo que ve
en ambas gráficas con la respuesta que dio en el inciso (a).
¿Qué efecto tendría cambiar k por algún otro valor? Inténtelo.
36. Movimiento sobre una recta Las posiciones de dos partículas
en el eje s1 = sen t y s2 = sen st + p>3d, con s1 y s2 en metros
y t en segundos.
a. ¿En qué momento(s) del intervalo 0 … t … 2p se encuentran
las dos partículas en el mismo lugar?
b. ¿Cuál es la máxima distancia a la que están separadas las partículas?
c. ¿Cuándo, la distancia entre las partículas cambia más rápidamente
en el intervalo 0 … t … 2p ?
37. Carrito sin fricción Un carrito sin fricción está atado a la pared
por un resorte, y es jalado 10 cm de su posición de reposo y soltado
en el tiempo t = 0 para que ruede hacia adelante y hacia atrás
durante 4 segundos. Su posición en el tiempo s = 10 cos pt.
a. ¿Cuál es la rapidez máxima del carrito? ¿Cuándo alcanza el
carrito esa rapidez? ¿En dónde está en ese momento? ¿Cuál
es la magnitud de la aceleración en ese momento?
b. ¿En dónde está el carrito cuando la magnitud de la aceleración
es máxima? ¿Cuál es la rapidez del carrito en ese momento?
12"
w
d
0 10
s