Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

514 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Orden y notación O
A continuación hablaremos de la notación “o pequeña” y “O grande”, inventada por varios
teóricos hace un siglo, y que ahora es de uso común en el análisis matemático y en las
ciencias de la computación.
DEFINICIÓN o pequeña
Una función f es de orden más pequeño que g cuando x : q, si lím
x: q
Esto lo indicamos escribiendo ƒ osgd (“f es o pequeña de g”).
ƒsxd
= 0.
gsxd
Observe que f = o(g) cuando x : q, es otra forma de decir que f crece más lentamente
que g a medida que x : q.
EJEMPLO 4 Uso de la notación o pequeña
(a)
ln x = osxd cuando x : q
ln x
ya que lím
x: q x
= 0
(b) x2 = osx3 + 1d cuando x : q
x
ya que lím
x: q
2
x3 + 1
DEFINICIÓN O grande
Sean f (x) y g(x) positivas para x suficientemente grande. Entonces f es a lo más
del mismo orden que g cuando x : q, si existe un entero positivo M para el
que
ƒsxd
gsxd
… M,
para x suficientemente grande. Esto se indica escribiendo ƒ Osgd (“f es O
grande de g”).
EJEMPLO 5 Uso de O grande
x + sen x
(a) x + sen x = O(x) cuando x : q, ya que x … 2
para x suficientemente grande.
(b)
(c) x = Ose
Si analiza nuevamente la definición, verá que f = o(g) implica f = O(g) para funciones que
son positivas para x suficientemente grande. Además, si f y g crecen a la misma razón,
f = O(g) y g = O(f) (ejercicio 11).
xd cuando x : q ya que x
ex : 0 a medida que x : q .
Búsqueda secuencial en comparación con búsqueda binaria
En ciencias de la computación, es frecuente que la eficiencia de un algoritmo se mida contando
el número de pasos que requiere una computadora para ejecutar el algoritmo. Puede
= 0
e x + x2 = Ose xd cuando x : q ya que ex + x2 : 1 cuando x : q .
e x