Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

54 Capítulo 1: Preliminares
B(a cos u, a sen u)
a
C
y
u
c
b
A(b, 0)
FIGURA 1.75 El cuadrado de la distancia
entre A y B da la ley de los cosenos.
x
Existen fórmulas similares para cossA - Bd y sensA - Bd (ejercicios 35 y 36). Todas
las identidades trigonométricas que se necesitan en este libro se deducen de las ecuaciones
(1) y (2). Por ejemplo, sustituir A y B por u en las fórmulas de suma da por resultado
Fórmulas para el doble de un ángulo
cos 2u = cos
sen 2u = 2 sen u cos u
2 u - sen2 u
Estas fórmulas se obtienen al combinar las identidades
cos 2 u + sen 2 u = 1, cos 2 u - sen 2 u = cos 2u.
Sumamos las dos identidades para obtener y restamos la segunda
de la primera para obtener 2 sen Esto da por resultado las identidades
siguientes, que son muy útiles en cálculo integral.
2 2 cos
u = 1 - cos 2u.
2 u = 1 + cos 2u
Más fórmulas para el doble de un ángulo
La ley de los cosenos
cos 2 u =
sen 2 u =
1 + cos 2u
2
1 - cos 2u
2
Si a, b y c son los lados de un triángulo ABC, y si u es el ángulo opuesto a c, entonces
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos u.
Esta ecuación se conoce como ley de los cosenos.
Para comprender la validez de la ley, podemos introducir ejes coordenados con el origen
en C y el eje x positivo a lo largo de un lado del triángulo, como en la figura 1.75. Las
coordenadas de A son (b, 0); las coordenadas de B son sa cos u, a sen ud. El cuadrado de la
distancia entre A y B es, por lo tanto,
c 2 = sa cos u - bd 2 + sa sen ud 2
= a 2 scos 2 u + sen 2 ud + b 2 - 2ab cos u
('')''*
1
= a 2 + b 2 - 2ab cos u.
La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras. Si entonces,
y c 2 = a2 + b 2 u = p>2,
cos u = 0
.
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