Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

412 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
2
y
x
0 x
Aproximamos el volumen del sólido S por medio de la suma de los volúmenes de los casquillos
generados por los n rectángulos basados en la partición P:
El límite de esta suma de Riemann cuando 7P7 : 0 proporciona el volumen del sólido como
una integral definida:
V = L
a
b
=
La
b
2psradio del casquillodsaltura del casquillod dx.
2psx - Ldƒsxd dx.
n
V L a ¢Vk.
k = 1
Nos referimos a la variable de integración, en este caso x, como la variable del grosor.
Usaremos la primera integral en lugar de la segunda que tiene una fórmula en el integrando,
a fin de hacer hincapié en el procedimiento que sigue el método de los casquillos. Esto
permitirá también usar la integral para rotaciones alrededor de una recta horizontal L.
Fórmula de los casquillos para rotación alrededor de una recta vertical
El volumen del sólido generado al hacer girar la región entre el eje x y la gráfica
de una función continua y = ƒsxd Ú 0, L … a … x … b, alrededor de la recta
vertical x = L es
V =
La
b
radio del del
2p a baaltura b dx.
casquillo casquillo
EJEMPLO 2 Casquillos cilíndricos rotando alrededor del eje y
La región acotada por la curva y = 2x, el eje x y la recta x = 4 se hace girar alrededor del
eje y para generar un sólido. Determinar el volumen del sólido.
Solución Bosqueje la región y trace un segmento de recta que la cruce en forma paralela
al eje de rotación (figura 6.21a). Etiquete la altura del segmento (altura del casquillo) y
la distancia desde el eje de rotación (radio del casquillo). (En la figura 6.21b se dibujó el
casquillo, pero usted no necesita hacerlo).
Radio del casquillo
y = x
f(x) = x
Intervalo de integración
Altura del
casquillo
x
4 –4
(a) (b)
Radio del casquillo
y
x
x
y = x
4
(4, 2)
x Altura del casquillo
x
Intervalo de
integración
FIGURA 6.21 (a) La región, las dimensiones del casquillo y el intervalo de integración del ejemplo 2.
(b) El casquillo barrido por el segmento vertical de la parte (a), con un ancho de ¢x.