Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

dy
?
dt
cuando y 6 pies
dV
dt 9 pies3 /min
5 pies
10 pies
FIGURA 3.45 La geometría del tanque
cónico y la razón a la que el agua llena el
tanque determina qué tan rápido sube el
nivel del agua (ejemplo 4).
x
y
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 217
Finalmente usamos x = 0.8, y = 0.6, dy>dt = -60, ds>dt = 20, y despejamos dx>dt.
En el momento en cuestión, la velocidad del automóvil es de 70 millasNhora.
EJEMPLO 4 Llenado de un tanque cónico
En un tanque cónico, el agua entra a razón de 9 pies 3 Nmin. El tanque está colocado con el
vértice hacia abajo, tiene una altura de 10 pies y el radio de su base mide 5 pies. ¿Qué tan
rápido sube el nivel del agua cuando el agua tiene 6 pies de profundidad?
Solución La figura 3.45 muestra un tanque cónico parcialmente lleno. Las variables del
problema son:
V = volumen (pies 3 ) de agua en el tanque en el tiempo t (min)
x = radio (pies) de la superficie del agua en el tiempo t
y = profundidad (pies) del agua en el tanque en el tiempo t
Suponemos que V, x y y son funciones diferenciables de t. Las constantes son las dimensiones
del tanque. Nos interesa determinar dy>dt cuando
El agua forma un cono con volumen
La ecuación involucra tanto a x como a V y y. Debido a que no se da información acerca de
x ni de dx>dt en el tiempo en cuestión, necesitamos eliminar x. En la figura 3.45 los triángulos
semejantes nos dan la manera de expresar x en términos de y:
De donde
para obtener la derivada
1
20 =
2s0.8d2 dx
a0.8 + A0.6BA-60B b
2 + s0.6d dt
dx
dt = 202s0.8d2 + s0.6d2 + s0.6ds60d
0.8
y = 6 pies y dV
dt = 9 pies3 >min.
dV
dt
V = 1
p ay
3 2 b
2
y = p 3 y
12
p
=
12 # dy 2 3y
dt
Finalmente, usamos y = 6 y dV>dt = 9 para despejar dy>dt.
x
y
V = 1
3 px2 y.
= 5
10 o x = y
2 .
9 = p
4
dy
dt = 1 p
p dy 2 = y
4 dt .
A6B2 dy
dt
L 0.32
= 70
En el momento en cuestión, el nivel del agua se eleva alrededor de 0.32 pies> min.