Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Willebrord Snell van Royen
(1580–1626)
y
A
Ángulo
de incidencia
a 1 1 Medio 1
0 x
P
d
x
Medio 2
b 2 Ángulo
de refracción
d x
B
FIGURA 4.37 Un rayo de luz refractado
(desviado de su trayectoria) conforme pasa
de un medio a un medio más denso
(ejemplo 4).
La derivada
no está definida en x = 2 y es igual a cero cuando
4.5 Problemas de optimización aplicados 281
De los dos ceros, x = 22 y x = -22, solamente x = 22 está en el interior del dominio
de A y en la lista de puntos críticos. Los valores de A en los extremos del intervalo y en
este punto crítico son
Valor en el punto crítico: AA 22B = 22224 - 2 = 4
Valores en los extremos de los intervalos: As0d = 0, As2d = 0.
El área tiene un valor máximo igual a 4 cuando el rectángulo tiene 24 - x unidades
de altura y 2x = 222 unidades de largo.
2 = 22
EJEMPLO 4 Principio de Fermat y ley de Snell
La rapidez de la luz depende del medio por el que viaja y, en general, es más lenta en medios
densos.
En óptica, el principio de Fermat establece que la luz viaja a lo largo de la trayectoria
más rápida entre un punto y otro. Encuentre la trayectoria que seguirá un rayo de luz para
ir del punto A, en un medio donde la rapidez de la luz es c1 , a un punto B en un segundo
medio donde la rapidez de la luz es c2.
Solución Como la luz viaja de A a B siguiendo la ruta más rápida, buscamos una trayectoria
que minimice el tiempo de viaje. Supongamos que A y B están en el plano xy, y que
la línea que separa los dos medios es el eje x (figura 4.37).
En un medio uniforme, donde la rapidez de la luz permanece constante, “el menor
tiempo” significa “la trayectoria más corta”, y el rayo de luz seguirá una línea recta. De
esta manera, la trayectoria A-B consistirá de un segmento de recta de A en un punto frontera
P, seguido por otro segmento de recta de P a B. La distancia es igual al producto del
tiempo por la rapidez; así,
El tiempo que requiere la luz para viajar de A a P es
De P a B el tiempo es
dA
dx =
-2x 2
+ 224 - x2
2 24 - x
-2x2
24 - x 2 + 224 - x2 = 0
-2x 2 + 2s4 - x 2 d = 0
8 - 4x 2 = 0
Tiempo = distancia
rapidez .
x 2 = 2 o x = ;22.
t1 = AP
c1 = 2a2 + x2 .
c1
t2 = PB
c2 = 2b 2 + sd - xd2 .
c2