Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

F r ky
m
F p mg
y positiva
y 0
FIGURA 9.16 Un objeto que cae bajo la
influencia de la gravedad con fuerza de
resistencia, que se supone es proporcional
a la velocidad.
dy
dt
dy
0 0
dt
mg
k
FIGURA 9.17 Línea de fase inicial para
el ejemplo 4.
v
9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 669
EJEMPLO 4 Análisis de la caída de un cuerpo que enfrenta una fuerza de resistencia
Galileo y Newton observaron que la razón de cambio en el momento (o momentum) encontrado
por un objeto móvil es igual a la fuerza neta aplicada a él. En términos matemáticos,
donde F es la fuerza y m y y la masa y la velocidad del objeto. Si m varía con el tiempo,
como cuando el objeto es un cohete que quema combustible, el lado derecho de la ecuación
(2) se expande a
utilizando la regla del producto. Sin embargo, en muchas situaciones, m es constante,
dm>dt = 0, y la ecuación (2) toma la forma más sencilla
conocida como la segunda ley de movimiento de Newton.
En caída libre, la aceleración constante debida a la gravedad se denota mediante g, y
la fuerza que actúa hacia abajo en el cuerpo que cae es
la propulsión debida a la gravedad. Sin embargo, si consideramos un objeto real que cae
en el aire, digamos una moneda que cae desde una gran altura o un paracaidista que desciende
de una altura aún mayor, sabemos que la resistencia del aire es un factor que afecta
la velocidad de la caída. Un modelo más realista de la caída libre incluiría la resistencia al
aire, mostrada como una fuerza F r en el diagrama de la figura 9.16.
Para velocidades bajas, por debajo de la velocidad del sonido, los experimentos físicos
han demostrado que F r es aproximadamente proporcional a la velocidad del cuerpo.
Por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto que cae es
con lo que se obtiene,
F = d
dt smyd
m dy
dt
F = m dy
dt o F = ma,
F = Fp - Fr ,
m dy
dt
+ y dm
dt
Fp = mg,
= mg - ky
(4)
Podemos utilizar la línea de fase para analizar las funciones de velocidad que resuelven esta
ecuación diferencial.
El punto de equilibrio, obtenido haciendo el lado derecho de la ecuación (4) igual a
cero, es
y = mg
k .
dy
dt = g - k m y.
Si, en un inicio, el cuerpo se está moviendo más rápido que esto, dy> dt es negativa y el
cuerpo aminora la velocidad. Si el cuerpo se mueve a una velocidad por debajo de mg>k,
entonces dy>dt 7 0 y el cuerpo aumenta su velocidad. Estas observaciones se capturaron
en el diagrama inicial de línea de fase de la figura 9.17.
Determinamos la concavidad de las curvas solución por medio de la derivación de
ambos lados de la ecuación (4) respecto de t:
d 2y d
= 2 dt dt ag - k m yb =-k m dy
dt .
(2)
(3)