Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

284 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Costo
y
c(x)
5000
x 25x
x mín
Ciclo
y
y 25x
5000
x
FIGURA 4.41 El costo promedio diario
c(x) es la suma de una hipérbola y una
función lineal (ejemplo 6).
x
EJEMPLO 6 Minimización de costos
Un fabricante de armarios usa madera de caoba para producir 5 muebles al día. La entrega
de un contenedor de madera cuesta $5000, mientras que el almacenaje del material cuesta
$10 diarios por unidad almacenada, donde una unidad es la cantidad de material que se necesita
para producir un mueble. ¿Cuánto material tiene que ordenar el fabricante cada vez,
y con qué frecuencia se debe entregar el material para minimizar su costo promedio diario
en el ciclo de producción entre entregas?
Solución Si el fabricante pide que se le entregue la madera cada x días, deberá ordenar
5x unidades para tener suficiente material para ese ciclo entre entregas. La cantidad almacenada
promedio es aproximadamente la mitad de la cantidad entregada, o 5 x>2.
Así, el
costo de entrega y almacenaje por cada ciclo es, aproximadamente,
Costo por ciclo = costo de entrega + costo de almacenaje
Costo por ciclo = 5000 + a 5x
2 b # x #
()*
()* ()* 10
costo
()* número costo por
deliberado cantidad de días día de
almacenada
promedio
almacenados almacenaje
Calculamos el costo promedio diario c(x) dividiendo el costo por ciclo entre el número de
días x del ciclo (vea la figura 4.41).
Cuando x : 0 y cuando x : q , el costo promedio diario se hace grande. De esta manera,
esperamos que exista un mínimo, pero ¿en dónde? Nuestro objetivo es determinar el
número de días x entre entregas que proporciona el costo mínimo absoluto.
Encontramos los puntos críticos determinando el lugar en donde la derivada es igual
a cero:
De los dos puntos críticos, solamente 2200 está en el dominio de c(x). El valor del punto
crítico del costo promedio diario es
c A 2200B = 5000
2200
csxd = 5000
x + 25x, x 7 0.
c¿sxd =- 5000
x 2
x = ;2200 L ;14.14.
Observe que c(x) está definido en el intervalo abierto con c–sxd = 10000>x
Así, existe un mínimo absoluto en x = 2200 L 14.14 días.
El fabricante deberá programar una entrega de 5s14d = 70 unidades de madera de
caoba cada 14 días.
3 s0, q d
7 0.
En los ejemplos 5 y 6 permitimos que el número de artículos x sea cualquier número
real positivo. En la realidad, por lo general esto sólo tiene sentido cuando x es entero positivo
(o cero). Si tenemos que redondear nuestras respuestas, ¿debemos hacerlo hacia arriba
o hacia abajo?
EJEMPLO 7 Sensibilidad del costo mínimo
+ 25 = 0
+ 252200 = 50022 L $707.11.
En el caso de la solución del ejemplo 6, ¿debemos redondear el número de días entre las
entregas hacia arriba o hacia abajo?