Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

224 Capítulo 3: Derivadas
0
y
2 y cos x
y x
2
FIGURA 3.50 La gráfica de f(x) = cos x
y su linealización en x = p>2.
Cerca de
x = p>2, cos x L -x + sp>2d
(ejemplo 3).
x
Aproximación Valor real
1.095445
1.024695
1.002497 610-5 21.005 L 1 + 0.005
610
= 1.00250
2
-3
21.05 L 1 + 0.05
610
= 1.025
2 -2
21.2 L 1 + 0.2
ƒ Valor realaproximación ƒ
= 1.10
2
puesto, es preciso que conozcamos el tamaño del error. Hablaremos más acerca de la estimación
del error en el capítulo 11.
Una aproximación lineal normalmente pierde exactitud lejos de su centro. Como sugiere
la figura 3.48, la aproximación de 21 + x L 1 + sx>2d será posiblemente demasiado
burda para resultar útil cerca de x = 3. Ahí necesitamos una linealización en x = 3.
EJEMPLO 2 Determinación de una linealización en otro punto
Encontrar una linealización de ƒsxd = 21 + x en x = 3.
Solución Evaluamos la ecuación definiendo L(x) en a = 3. Con
tenemos
ƒs3d = 2, ƒ¿s3d = 1
2 A1 + xB -1>2 ` x = 3
En x = 3.2, la linealización del ejemplo 2 da
21 + x = 21 + 3.2 L 5
4
Lsxd = 2 + 1
5
Ax - 3B =
4 4
+ 3.2
4
lo cual difiere del valor real 24.2 L 2.04939 en menos de un milésimo. La linealización
del ejemplo 1 da
21 + x = 21 + 3.2 L 1 + 3.2
2
un resultado que se aleja en más de 25 por ciento.
EJEMPLO 3 Determinación de una linealización para la función coseno
Encontrar una linealización de ƒsxd = cos x en x = p>2 (figura 3.50).
Solución Como ƒsp>2d = cossp>2d = 0, ƒ¿sxd =-sen x y ƒ¿sp>2d = -sensp>2d =
-1, tenemos
Lsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad
= 0 + s -1d ax - p
2 b
= -x + p
2 .
+ x
4 .
= 1
4 ,
= 1.250 + 0.800 = 2.050,
= 1 + 1.6 = 2.6,