Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

572 Capítulo 8: Técnicas de integración
EJEMPLO 1 Factores lineales distintos
Evaluar
Método de las fracciones parciales (ƒ(x) >
g(x) propia)
1. Sea x – r un factor lineal de g(x). Suponga que (x – r) m es la potencia más
grande de x – r que divide a g(x). Entonces, para este factor, asigne la suma
de las m fracciones parciales:
A1
x - r +
Haga esto para cada factor lineal distinto de g(x).
2. Sea x 2 + px + q un factor cuadrático de g(x). Suponga que (x 2 + px + q) n es
la potencia más grande de este factor que divide a g(x). Entonces, para este
factor, asigne la suma de las n fracciones parciales:
B1 x + C1
x2 + px + q +
L
por medio de fracciones parciales.
A2
sx - rd 2 + Á +
B2 x + C2
sx 2 + px + qd2 + Á +
Haga esto para cada uno de los factores cuadráticos distintos de g(x) que no
pueda factorizarse en factores lineales con coeficientes reales.
3. Haga la fracción original f (x) > g(x) igual a la suma de todas estas fracciones
parciales. Elimine las fracciones de la ecuación resultante y reacomode los
términos en potencias decrecientes de x.
4. Iguale los coeficientes de potencias correspondientes de x y resuelva las
ecuaciones resultantes para los coeficientes indeterminados.
Solución La descomposición en fracciones parciales tiene la forma
x 2 + 4x + 1
sx - 1dsx + 1dsx + 3d =
x 2 + 4x + 1
sx - 1dsx + 1dsx + 3d dx
A
x - 1 +
Am
sx - rd m .
B
x + 1 +
Para encontrar los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C, eliminamos las
fracciones y obtenemos
x 2 + 4x + 1 = Asx + 1dsx + 3d + Bsx - 1dsx + 3d + Csx - 1dsx + 1d
= sA + B + Cdx 2 + s4A + 2Bdx + s3A - 3B - Cd.
Los polinomios en ambos lados de la ecuación anterior son idénticos, por lo que igualamos
los coeficientes de potencias iguales de x, obteniendo:
Coeficiente de x 2 : A + b + C = 1
Coeficiente de x 1 : 4A + 2B = 4
Coeficiente de x 0 : 3A – 3B – C = 1.
Bn x + Cn
sx 2 . n + px + qd
C
x + 3 .