Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Utilice las funciones Trace o Zoom para determinar una cota
superior M para los valores de ƒ ƒ en [0, p].
b. Utilice el valor de M del inciso (a) para obtener una cota superior
para la magnitud del error al estimar el valor de
s4d ƒ
con la regla de Simpson con n = 10 pasos.
c. Utilice la información de la tabla del ejercicio 35 para estimar
con la regla de Simpson con n = 10 pasos.
d. Determine, a seis decimales, la magnitud de la diferencia
entre su estimación del inciso (c) y el valor real de la integral,
p. Verá que la estimación del error obtenida en el inciso (b)
es muy buena.
37. Demuestre que la suma T en la regla del trapecio para
es una suma de Riemann para f continua en [a, b]. (Sugerencia:
Utilice el Teorema del Valor Intermedio para mostrar la existencia
de ck en el subintervalo que satisface +
).
38. Demuestre que la suma S en la regla de Simpson para 1
es una suma de Riemann para f continua en [a, b]. (Vea el ejercicio
37).
b
1
[xk - 1, xk]
ƒsckd = sƒsxk - 1d
ƒsxkdd>2
a ƒsxd dx
b
1
a ƒsxd dx
p
0 x sen x dx
Integración numérica
T
Como mencionamos al inicio de la sección, las integrales definidas de
muchas funciones continuas no pueden evaluarse con el Teorema Fundamental
del Cálculo, ya que sus antiderivadas carecen de fórmulas
elementales. La integración numérica ofrece una manera práctica para
estimar los valores de éstas, denominadas, integrales no elementales.
Si su calculadora o computadora tiene una rutina de integración numérica,
pruébela con las integrales en los ejercicios 39 a 42.
T
T
39.
40.
41.
L0
L0
L
1
p>2
p>2
0
p>2
21 + x 4 dx
sen x
x dx
sen sx 2 d dx
L0
p
x sen x dx
Una integral no elemental que encontró
Newton en sus investigaciones.
La integral del ejercicio 33. Para evitar
la división entre cero, podría iniciar la
integración en un número positivo
pequeño, como 10 –6 en lugar de 0.
Una integral asociada con la
difracción de la luz.
42.
43. Considere la integral
a. Determine las aproximaciones por medio de la regla del trapecio
para n = 10, 100 y 1000.
b. Registre los errores con tantos decimales de precisión como
pueda.
c. ¿Qué patrón ve?
d. Explique cómo se relaciona el patrón con la cota del error para
ET. 44. (Continuación del ejercicio 43). Repita el ejercicio 43 con la regla
de Simpson y ES. 45. Considere la integral
a. Determine para ƒsxd = sen sx 2 1
ƒ–
d.
1
-1 sen sx2 1
d dx.
p
4021 - 0.64 cos
L0
0 sen x dx.
2 La longitud de la elipse
t dt
sx2 >25d + sy 2 >9d = 1
8.7 Integración numérica 617
b. Trace la gráfica de y = ƒ–sxd en una ventana de [–1, 1] por
[–3, 3].
c. Explique por qué la gráfica del inciso (b) sugiere que
ƒ ƒ–sxd ƒ … 3 para -1 … x … 1.
d. Demuestre que la estimación del error para la regla del trapecio
en este caso es
e. Demuestre que la magnitud del error de la regla del trapecio
será menor o igual a 0.01, si
f. ¿Qué tan grande debe ser n para que
46. Considere la integral
a. Determine para f (x) = sen(x 2 ). (Podría verificar su trabajo
con un software matemático, si cuenta con él).
b. Trace la gráfica de en una ventana de [–1, 1] por
[–30, 10].
c. Explique por qué la gráfica del inciso (b) sugiere que
ƒ ƒ para -1 … x … 1.
d. Demuestre que la estimación del error para la regla de Simpson
en este caso es
s4d y = ƒ
sxd ƒ … 30
s4d ƒ
sxd
s4d
1 1
-1 sen sx2 ¢x … 0.1.
¢x … 0.1?
d dx.
6
0
ƒ ET ƒ … s¢xd2
.
2
ƒ ES ƒ … s¢xd4
.
3
e. Demuestre que la magnitud del error de la regla de Simpson
será menor o igual a 0.01, si ¢x … 0.4.
f. ¿Qué tan grande debe ser n para que ¢x … 0.4?
T 47. Un florero Deseamos estimar el volumen de un florero, por
medio de una calculadora, una cuerda y una regla. Medimos la altura
del florero y fue 6 pulgadas. Después utilizamos la cuerda y
la regla para determinar las circunferencias del florero (en pulgadas)
a intervalos de media pulgada. (Los listamos de arriba hacia
abajo para que correspondan con la figura del florero).
Circunferencias
5.4 10.8
4.5 11.6
4.4 11.6
5.1 10.8
6.3 9.0
7.8 6.3
9.4
a. Determine el área de cada sección transversal que corresponde
a las circunferencias dadas.
b. Exprese el volumen del florero como una integral respecto de
y en el intervalo [0, 6].
c. Aproxime la integral por medio de la regla del trapecio con
n = 12.
d. Aproxime la integral por medio de la regla de Simpson con
n = 12. ¿Cuál resultado cree que es más preciso? Justifique su
respuesta.