Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

422 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
James Gregory
(1638-1675)
0
0
y
y
ds
ds
dx
dx
(a)
(b)
FIGURA 6.28 Diagramas para recordar la
dy
dy
ecuación ds = 2dx 2 + dy 2 .
x
x
Fórmula para longitud de arco en forma diferencial
La ecuación (1) suele escribirse en términos de diferenciales, en lugar de emplear derivadas.
Esto se hace formalmente escribiendo (dt) 2 dentro del radical en lugar de dt fuera del
radical y escribiendo
y
También se acostumbra eliminar los paréntesis en (dx) 2 y escribir simplemente dx 2 ,
por lo que la ecuación (1) se transforma en
Estas diferenciales pueden considerarse como una forma de resumir y simplificar las propiedades
de las integrales. Para conocer una definición matemática precisa de las diferenciales,
consulte un texto más avanzado.
Para realizar el cálculo de la integral, dx y dy deben expresarse en términos de la
misma variable, y se deben proporcionar los límites adecuados en la ecuación (4).
Un método útil para recordar la ecuación (4) consiste en escribir
y tratar ds como una diferencial de la longitud de arco, que puede integrarse entre los límites
adecuados para obtener la longitud total de la curva. La figura 6.28a proporciona la interpretación
precisa de ds para la ecuación (5). La figura 6.28b no es precisa, pero se considerará
una aproximación simplificada de la figura 6.28a.
Con la ecuación (5) en mente, la manera más rápida de recordar las fórmulas para
calcular la longitud de arco es recordando la ecuación
Si escribimos L = 1ds y tenemos la gráfica de y = f (x), podemos reescribir la ecuación (5)
para obtener
ds = 2dx 2 + dy 2 = B dx 2 +
con lo que se obtiene la ecuación (2). Si, en cambio, tenemos x = g(y), reescribimos así la
ecuación (5):
ds = 2dx2 + dy 2 = dy
B 2 + dx2
dy 2 dy 2 = 1 +
B dx2
dy 2 dy = 1 + adx
B dy b
2
dy,
y obtenemos la ecuación (3).
a dx
dt b
2
sdtd2 = a dx
dt dtb
2
= sdxd2 a dy
dt b
2
sdtd2 = a dy
dt dtb
2
= sdyd2 .
L = L 2dx 2 + dy 2 .
ds = 2dx 2 + dy 2
Longitud de arco = L ds.
dy 2
dx 2 dx2 = B 1 +
dy 2
dx 2 dx = B
1 + ady
dx b
2
dx,
(4)
(5)