Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
a
y
Superficie del fluido
Placa vertical
sumergida
L(y)
Longitud de la franja
en el nivel y
Profundidad
de la franja
y
FIGURA 6.66 La fuerza ejercida por un
fluido contra un lado de una franja delgada
horizontal es aproximadamente
F = presión área = w (profundidad
de la franja) L(y) y.
y x o x y
Superficie de la piscina
Profundidad:
5 y
y
y (pies)
y
x y
y 3
(3, 3)
(x, x) (y, y)
0
y 5
x (pies)
FIGURA 6.67 Para determinar la fuerza
ejercida sobre un lado de la placa
sumergida del ejemplo 1, podemos utilizar
un sistema de coordenadas como el que se
muestra aquí.
Fórmula para profundidad variable
6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 457
Suponga que queremos conocer la fuerza que ejerce un fluido contra un lado de una placa
vertical sumergida en un fluido con densidad w. Para determinarla, modelamos la placa
como una región que se extiende desde y = a hasta y = b en el plano xy (figura 6.66).
Hacemos una partición de [a, b] de la manera usual, e imaginamos que la región se corta
en delgadas franjas horizontales, por medio de planos perpendiculares al eje y, en los pun-
tos de la partición. La franja representativa de y a y +¢yes
de ¢y unidades de ancho por
L(y) unidades de largo. Suponemos que L(y) es una función continua de y.
La presión varía de la parte superior a la inferior de la franja. Sin embargo, si la franja
es suficientemente delgada, la presión permanecerá cercana al valor en su parte inferior e
igual a w * (profundidad de la franja). La fuerza que ejerce el fluido contra un lado de la
franja será aproximadamente de
¢F = spresión a lo largo de la parte inferiord * sáread
= w # sprofundidad de la franjad # Ls yd ¢y.
Suponga que hay n franjas asociadas con la partición de a … y … b y que yk es el lado inferior
de la k-ésima franja que tiene longitud L(yk) y ancho ¢yk. La fuerza contra toda la
placa es aproximadamente la suma de las fuerzas contra cada franja, dando la suma de
Riemann
n
F L a sw # sprofundidad de la franjadk
k = 1
# Ls ykdd ¢yk.
La suma de la ecuación (3) es una suma de Riemann para una función continua en [a, b] y
cabe esperar que las aproximaciones mejorarán conforme la norma de la partición tienda a
cero. La fuerza contra la placa es el límite de estas sumas.
La integral para determinar la fuerza del fluido contra una placa vertical
plana
Suponga que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w va
desde y = a hasta y = b en el eje y. Sea L(y) la longitud de la franja horizontal medida
de izquierda a derecha a lo largo de la superficie de la placa en el nivel y.
Entonces, la fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es
F =
La
b
w # sprofundidad de la franjad # Lsyd dy.
EJEMPLO 1 Aplicación de la integral para determinar la fuerza de un fluido
Una placa plana en forma de triángulo rectángulo isósceles, con base de 6 pies y altura de
3 pies, se sumerge verticalmente, con la base hacia arriba, 2 pies por debajo de la superficie
de una alberca. Determinar la fuerza ejercida por el agua contra un lado de la placa.
Solución Establecemos un sistema de coordenadas para trabajar, colocando el origen
en el vértice inferior de la placa y el eje y hacia arriba sobre el eje de simetría de la placa
(figura 6.67). La superficie de la alberca está a lo largo de la recta y = 5 y el lado superior
de la placa a lo largo de la recta y = 3. El cateto del lado derecho está a lo largo de la recta
y = x, con el vértice superior derecho en (3, 3). La longitud de una franja delgada en el
nivel y es
Ls yd = 2x = 2y.
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