Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

cambiaría, así como el signo del límite, la integral b ƒsxd dx. Como no habíamos dado
previamente un significado a la integración hacia atrás, esto nos lleva a definir
a
ƒsxd dx = - ƒsxd dx.
Lb
La
Otra extensión de la integral es a un intervalo de ancho cero, cuando a = b. Como
ƒsckd ¢xk es cero cuando el ancho del intervalo ¢xk = 0,
definimos
a
ƒsxd dx = 0.
La
El teorema 2 establece siete propiedades de las integrales, dadas como reglas que ellas
satisfacen, incluyendo las dos últimas. Estas reglas resultan muy útiles en el proceso de calcular
integrales. Nos referiremos a ellas repetidamente para simplificar nuestros cálculos.
Las reglas 2 a 7 tienen interpretaciones geométricas, las cuales se presentan en la
figura 5.11. Esas gráficas son de funciones positivas, pero las reglas aplican por igual para
funciones integrales en general.
b
1 a
5.3 La integral definida 347
TEOREMA 2
Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface las reglas 1 a 7 de la
tabla 5.3.
TABLA 5.3 Reglas que satisfacen las integrales definidas
1. Orden de integración: ƒsxd dx = - ƒsxd dx
Una definición
Lb
La
2. Intervalo de ancho cero: ƒsxd dx = 0
También una definición
La
3. Múltiplo constante: kƒsxd dx = k ƒsxd dx Cualquier número k
La
La
4. Suma y diferencia:
5. Aditividad:
ƒsxd dx + ƒsxd dx = ƒsxd dx
La
Lb
La
6. Desigualdad máx-mín: Si f tiene un valor máximo máx f y un valor mínimo
mín f en [a, b], entonces
7. Dominación:
L
a
a
b
b
a
b
sƒsxd ; gsxdd dx = ƒsxd dx ; gsxd dx
L
La
La
a
b
-ƒsxd dx = - ƒsxd dx
La
b
mín ƒ # sb - ad … ƒsxd dx … máx ƒ # sb - ad.
La
c
ƒsxd Ú gsxd sobre [a, b] Q ƒsxd dx Ú gsxd dx
L La
a
b
ƒsxd Ú 0 sobre [a, b] Q ƒsxd dx Ú 0
La
b
b
b
b
b
c
k = -1
b
b
(Caso especial)