Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

9.5
9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden
En esta sección examinaremos tres aplicaciones de las ecuaciones diferenciales que hemos
estudiado. La primera aplicación analiza un objeto que se mueve a lo largo de una línea
recta mientras está sujeto a una fuerza que se opone al movimiento. El segundo es un modelo
de crecimiento de población que toma en cuenta factores del medio ambiente que limitan
el crecimiento, tal como la disponibilidad de alimento u otros recursos vitales. La
última aplicación considera una curva o curvas que intersectan ortogonalmente (esto es, en
ángulo recto) a cada curva de una segunda familia de curvas.
Resistencia proporcional a la velocidad
En algunos casos es razonable suponer que la resistencia encontrada por un objeto en movimiento,
tal como un automóvil que se va a detener, es proporcional a su velocidad.
Mientras más rápido se mueva el objeto, mayor es la resistencia que presenta el aire que lo
circunda. Para describir esto en términos matemáticos, representamos el objeto como una
masa m que se mueve a lo largo de una recta coordenada con función de posición s y velocidad
y en el instante t. De acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton, la fuerza
de resistencia que se opone al movimiento es
Podemos expresar la hipótesis de que la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad
escribiendo
m dy
dt
Ésta es una ecuación diferencial separable que representa un cambio exponencial. La solución
para la ecuación con condición inicial y = y0 en t = 0 es (sección 7.5).
¿Qué podemos aprender de la ecuación (1)? Por una parte, si m es grande, como la masa
de un buque minero de 20,000 toneladas en el lago Erie, tardará mucho tiempo para que la
velocidad se aproxime a cero (ya que t debe ser grande en el exponente de la ecuación pa-
ra hacer kt> m suficientemente grande para que y se haga pequeña). Podemos aprender aún
más si integramos la ecuación (1) para determinar la posición s como una función del
tiempo t.
Suponga que el cuerpo se desliza hasta detenerse, y que la única fuerza que actúa
sobre él es una resistencia proporcional a su velocidad. ¿Cuánto se desplaza? Para determinarlo,
iniciamos con la ecuación (1) y resolvemos el problema de valor inicial
Integrando respecto a t se obtiene
Sustituyendo s = 0 cuando t = 0 se obtiene
Fuerza = masa * aceleración = m dy
dt .
dy
= -ky o
dt =-k m y sk 7 0d.
ds
dt = y0 e -sk>mdt , ss0d = 0.
0 =-
s =-
y0 m
k
y = y0 e -sk>mdt .
y0 m
k e -sk>mdt + C.
+ C y C = y0 m
k .
(1)