Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2.1
Capítulo
2
LÍMITES Y CONTINUIDAD
INTRODUCCIÓN El concepto que marca la diferencia entre el cálculo y el álgebra y la trigonometría,
es el de límite. El límite es fundamental para determinar la tangente a una curva
o la velocidad de un objeto.
En este capítulo se desarrolla dicho concepto, primero de manera intuitiva y luego
formalmente. Usaremos límites para describir la forma en que varía una función f. Algunas
funciones varían continuamente; los cambios pequeños en x producen ligeras modificaciones
en ƒ(x). Otras funciones pueden tener valores que saltan o que cambian con brusquedad.
El concepto de límite nos proporciona un método preciso para distinguir entre estos
comportamientos. La aplicación geométrica del límite para definir la tangente a una
curva, conduce directamente al importante concepto de la derivada de una función. La derivada,
que analizaremos a fondo en el capítulo 3, cuantifica la manera en que cambian los
valores de una función.
Razón de cambio y límites
En esta sección hablaremos de las razones de cambio promedio e instantáneo. A partir de
ellas abordaremos nuestro concepto principal: la idea de límite.
Velocidad promedio y velocidad instantánea
La velocidad promedio que tiene un cuerpo en movimiento durante un intervalo de tiempo,
se encuentra al dividir la distancia recorrida entre el lapso de tiempo. La unidad de medida
es longitud por unidad de tiempo: kilómetros por hora, pies por segundo o cualquiera
otra que sea adecuada para el problema en cuestión.
EJEMPLO 1 Determinación de la velocidad promedio
Una piedra cae de un acantilado desde el reposo. ¿Cuál es su velocidad promedio
(a) durante los primeros dos segundos de la caída?
(b) durante el intervalo de un segundo entre el segundo 1 y el segundo 2?
Solución Para resolver este problema usamos el hecho, descubierto por Galileo a finales
del siglo XVI, de que un objeto sólido que se deja caer desde el reposo (sin moverse), de
manera que descienda libremente cerca de la superficie de la tierra, recorrerá una distancia
proporcional al cuadrado del tiempo que dura la caída. (Esto supone despreciar la resistencia
que ejerce el aire y frena el objeto, y descartar la influencia de fuerzas distintas a la
gravedad sobre el objeto en caída. A este tipo de movimiento se le denomina caída libre).
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