Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución 369
Desde otro punto de vista, esta misma ecuación afirma que es una de las antiderivadas
de la función u Por lo tanto,
n u
sdu>dxd.
n + 1 >sn + 1d
L
+ 1
du un
aun b dx =
dx n + 1
La integral del lado izquierdo de la ecuación suele escribirse en la forma “diferencial” sencilla,
L un du,
+ C.
que se obtiene al tratar a las dx como diferenciales que se cancelan. Así llegamos a la siguiente
regla.
Si u es cualquier función diferenciable, entonces
L un du =
un + 1
n + 1
+ C sn Z -1, n racionald.
La ecuación (1) realmente se cumple para cualquier exponente real n Z -1, como veremos
en el capítulo 7.
En la obtención de la ecuación (1) supusimos que u era una función diferenciable de la
variable x, pero el nombre de la variable no tiene importancia y no aparece en la fórmula
final. Podríamos haber representado la variable con u, t, y, o cualquier otra letra. La
ecuación (1) dice que siempre que podamos escribir una integral en la forma
L un du, sn Z -1d,
con u como una función diferenciable y du como su diferencial, podemos evaluar la integral
como [un + 1 >sn + 1d] + C.
EJEMPLO 1 Uso de la regla de potencias
L 21 + y 2 # 2y dy = 1u # du
a b dy
L dy
= L u 1>2 du
= us1>2d + 1
s1>2d + 1
= 2
3 u3>2 + C
+ C
= 2
3 s1 + y 2 d 3>2 + C
Sea u = 1 + y
du>dy = 2y
2 ,
Forma simplificada
(1)
Integrar, usando la
ecuación (1) con n = 1>2.
Reemplazar u por 1 + y 2 .