Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

512 Capítulo 7: Funciones trascendentes
70
60
50
40
30
20
10
y
y e x
y ln x
0 10 20 30 40 50 60
FIGURA 7.15 Gráficas a escala de e x
y ln x.
x
Entre la Tierra y Proxima Centauri hay una distancia aproximada de 4.22 años luz. Con
x = 43 cm del origen, la gráfica está a menos de 2 pies a la derecha del eje y.
En contraste, las funciones logarítmicas como y = log2 x y y = ln x crecen más lenta-
mente que cualquier potencia positiva de x cuando x : q (ejercicio 21). Al dividir los
ejes en centímetros, usted tendría que alejarse casi 5 años luz a lo largo del eje x para encontrar
un punto en donde la gráfica de y = ln x tenga una altura de y = 43 cm. Vea la figura
7.15.
Estas importantes comparaciones entre las funciones exponencial, polinomial y logarítmica
pueden hacerse con precisión definiendo qué significa que una función f (x) crezca
más rápido que otra función g(x) cuando x : q.
DEFINICIÓN Razones de crecimiento cuando x : q
Sean f(x) y g(x) positivas para x suficientemente grande.
1. f crece más rápido que g cuando x : q si
lím
x: q
o, de forma equivalente, si
ƒsxd
gsxd = q
También decimos que g crece más lento que f cuando x : q .
2. f y g crecen a la misma razón cuando x : q si
donde L es finita y positiva.
lím
x: q gsxd
ƒsxd
lím
x: q ƒsxd
gsxd
= 0.
De acuerdo con estas definiciones, y = 2x no crece más rápido que y = x. Las dos funciones
crecen a la misma razón, ya que
lím
x: q 2x
x
que es un límite finito y distinto de cero. Esta aparente contradicción con el sentido común
se debe a que necesitamos que, al comparar con f, el significado de “f crece más rápido
que g” implique que, para valores grandes de x, g sea despreciable.
= L
= lím 2 = 2,
x: q
EJEMPLO 1 Comparaciones útiles de razones de crecimiento
(a) e x crece más rápido que x 2 a medida que x : q,
ya que
Aplicando dos veces la regla de L’Hôpital
(b) 3 x crece más rápido que 2 x x
x
x
e e e
lím = lím = lím
x: q 2 x x: q 2x x: q 2
cuando x : q ya que
= q.
(')'* (')'*
q > q
q > q
lím
x: q 3x
2x = lím
x: q a3
2 b
x
= q .