Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada 265
Prueba de la primera derivada para extremos locales
Supongamos que c es un punto crítico de una función continua f, y que f es diferenciable
en todo punto de algún intervalo que contiene a c, excepto posiblemente
en el mismo c. Moviéndonos a lo largo de c de izquierda a derecha,
1. si ƒ¿
en c;
cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un mínimo local
2. si ƒ¿
en c;
cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un máximo local
3. si ƒ¿ no cambia de signo en c (esto es, si f’ es positiva en ambos lados de c
o negativa en ambos lados de c), entonces f no tiene un extremo local en c.
La prueba para extremos locales en los extremos de un intervalo es similar, pero solo hay
que considerar un lado.
Demostración Parte (1). Como el signo de ƒ¿ cambia de negativo a positivo en c, existen
números a y b tales que ƒ¿ 60 en (a, c) y ƒ¿ 60 en (c, b) Si x H sa, cd, entonces
ƒscd 6 ƒsxd porque ƒ¿ 60 implica que f es decreciente en [a, c]. Si x H sc, bd, entonces
ƒscd 6 ƒsxd,
porque ƒ¿ 60 implica que f es creciente en [c, b]. Por lo tanto, ƒsxd Ú ƒscd
para toda x H sa, bd. Por definición, f tiene un mínimo local en c.
Las partes (2) y (3) se demuestran de manera similar.
EJEMPLO 2 Uso de la prueba de la primera derivada para extremos locales
Encontrar los puntos críticos de
ƒsxd = x 1>3 sx - 4d = x 4>3 - 4x 1>3 .
Identificar los intervalos en los que f es creciente y decreciente. Encontrar los valores extremos
locales y absolutos de la función.
Solución La función f es continua para toda x por ser el producto de dos funciones continuas,
x y sx - 4d. La primera derivada
1>3
ƒ ¿sxd = d
dx Qx4>3 - 4x1>3 R = 4
3 x1>3 - 4 -2>3 x
3
= 4
3 x -2>3 Qx - 1R =
4sx - 1d
3x 2>3
es cero en x = 1 y no está definida en x = 0. No hay puntos extremos en el dominio, de
manera que los puntos críticos x = 0 y x = 1 son los únicos lugares donde f podría tener
un valor extremo.
Los puntos críticos dividen el eje x en intervalos en los que ƒ¿ es positiva o negativa.
El patrón de los signos de ƒ¿ revela el comportamiento de f entre y en los puntos críticos.
Podemos listar la información en una tabla como la siguiente:
Intervalos x 6 0 0 6 x 6 1 x 7 1
Signo de ƒ¿
Comportamiento
-
-
+
de ƒ crecimiento decrecimiento crecimiento