Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

294 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Augustin-Louis Cauchy
(1789–1857)
0
y
(g(c), f(c))
(g(a), f(a))
(g(b), f (b))
pendiente
f (b) f (a)
g(b) g(a)
FIGURA 4.42 Existe al menos un valor
del parámetro t = c, a 6 c 6 b, para el
que la pendiente de la tangente a la curva
en (g(c), f (c)) es el mismo que la
pendiente de la recta secante que une los
puntos (g(a), f (a)) y (g(b), f (b))
x
La demostración de la forma fuerte de la regla de L’Hôpital se basa en el teorema del
valor medio de Cauchy, un teorema del valor medio que involucra dos funciones en lugar
de una. Primero probaremos el teorema de Cauchy y después veremos cómo se relaciona
con la regla de L’Hôpital.
TEOREMA 8 Teorema del valor medio de Cauchy
Supongamos que f y g son funciones continuas en [a, b] y diferenciables en todo
(a, b), y supongamos también que en todo (a, b). Entonces, existe un
número c en (a, b) en el que
ƒ¿scd ƒsbd - ƒsad
=
g¿scd gsbd - gsad .
g¿sxd Z 0
Demostración Aplicamos dos veces el teorema del valor medio que se estudió en la sección
4.2. Primero lo usamos para probar que gsad Z gsbd. Si g(b) fuera igual a g(a), entonces
el teorema del valor medio nos daría
gsbd - gsad
g¿scd = = 0
b - a
para alguna c entre a y b, lo cual no puede pasar, ya que g¿sxd Z 0 en (a, b).
A continuación aplicamos el teorema del valor medio a la función
ƒsbd - ƒsad
Fsxd = ƒsxd - ƒsad - [ gsxd - gsad].
gsbd - gsad
Esta función es continua y diferenciable donde f y g lo son, y Fsbd = Fsad = 0. Por lo
tanto, existe un número c entre a y b para el que F¿scd = 0. Cuando la expresamos en términos
de f y g, esta ecuación se convierte en
ƒsbd - ƒsad
F¿scd = ƒ¿scd - [ g¿scd] = 0
gsbd - gsad
o
ƒ¿scd
g¿scd
= ƒsbd - ƒsad
gsbd - gsad .
Observe que el teorema del valor medio de la sección 4.2 es el teorema 8 con
El teorema del valor medio de Cauchy tiene una interpretación geométrica para una
curva C definida por ecuaciones paramétricas y De acuerdo con la
ecuación (2) de la sección 3.5, la pendiente de la curva paramétrica en t está dada por
de manera que es la pendiente de la tangente a la curva cuando La recta
secante que une a los dos puntos (g(a), f(a)) y (g(b), f(b)) en C tiene pendiente
ƒsbd - ƒsad
gsbd - gsad .
dy>dt ƒ¿std
=
dx>dt g¿std
ƒ¿scd>g¿scd
t = c.
,
gsxd = x.
x = gstd y = ƒstd.
El teorema 8 dice que hay un valor del parámetro c en el intervalo (a, b) para el que la pendiente
de la tangente a la curva en el punto (g(c), f(c)) es la misma que la pendiente de la
recta secante que une los puntos (g(a), f(a)) y (g(b), f(b)). En la figura 4.42 se muestra este
resultado geométrico. Observe que puede existir más de un valor c para el parámetro.
Probemos ahora el teorema 7.