Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

520 Capítulo 7: Funciones trascendentes
El “arco” en arco seno y
arco coseno
La figura siguiente da una interpretación
geométrica de y = sen –1 x y y = cos –1 x
para ángulos medidos en radianes, que
están en el primer cuadrante. Para un
círculo unitario, la ecuación s = ru se
convierte en s = u, por lo que los ángulos
centrales y los arcos que subtienden
tienen la misma medida. Si x = sen y,
entonces, además de ser el ángulo cuyo
seno es x, y también es la longitud del
arco sobre el círculo unitario que
subtiende un ángulo cuyo seno es x. Así,
llamamos a y “el arco cuyo seno es x”.
x 2 y 2 1
Ángulo cuyo
seno es x
y
Arco cuyo seno es x
0 x
Arco cuyo
coseno es x
1
Ángulo cuyo
coseno es x
x
DEFINICIÓN Funciones arco seno y arco coseno
y sen 1 x es el número en [-p>2, p>2] para el que sen y = x.
y cos 1 x es el número en [0, p] para el que cos y = x.
–
2
1
y
0
–1
(a)
y sen x,
– x
2 2
Dominio: [–/2, /2]
Rango: [–1, 1]
2
x
FIGURA 7.18 Las gráficas de (a) y (b) su inversa,
y = sen –1 x. La gráfica de sen –1 y = sen x, -p>2 … x … p>2,
x, que se obtuvo por medio de una reflexión con
respecto de la recta y = x, es una parte de la curva x = sen y.
1
y
0
–1
2
(a)
y cos x, 0 x
Dominio:
Rango:
[0, ]
[–1, 1]
x
–1
2
–
2
y
(b)
x sen y
0 1
y sen –1 x
Dominio:
Rango:
x
[–1, 1]
[–/2, /2]
La gráfica de y = sen –1 x (figura 7.18) es simétrica con respecto del origen (coincide con la
gráfica de x = sen y). Por lo tanto, el arco seno es una función impar:
sen -1 s -xd = -sen -1 x.
La gráfica de y = cos –1 x (figura 7.19) no tiene tal simetría.
FIGURA 7.19 Las gráficas de (a) y (b) su inversa,
y = cos –1 x. La gráfica de cos –1 y = cos x, 0 … x … p,
x, que se obtuvo por medio de la reflexión
con respecto de la recta y = x, es una parte de la curva x = cos y.
2
y
–1 0 1
(b)
x cos y
y cos –1 x
Dominio:
Rango:
[–1, 1]
[0, ]
Los valores conocidos de sen x y cos x pueden invertirse para determinar los valores
de sen –1 x y cos –1 x.
x
(1)