Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

496 Capítulo 7: Funciones trascendentes
y
x
y ⎛ x
y
1
⎝2
⎛ x
y
1
⎝3
⎛ 1
⎝10
1
⎛ ⎝
⎛ ⎝
⎛ ⎝
–1 0 1
y 10 x
y 3 x
y 2 x
y 1 x
FIGURA 7.12 Las funciones
exponenciales decrecen si 0 6 a 6 1 y
crecen si a 7 1. Cuando tenemos
, si 0 6 a 6 1 y a x : q, si a 7 1.
Cuando x : – q, tenemos que a x : q si
0 6 a 6 1 y a x a
: 0 si a 7 1.
x x : q ,
: 0
x
EJEMPLO 1 Diferenciación de funciones exponenciales generales
(a)
(b)
(c)
d
dx 3x = 3 x ln 3
d
dx 3-x = 3-xsln 3d d
dx s -xd = -3-x ln 3
d
dx 3sen x = 3sen xsln 3d d
dx ssen xd = 3sen xsln 3d cos x
De la ecuación (1), podemos ver que la derivada de a x es positiva si ln a 7 0 o a 7 1, y
negativa si ln a 6 0 o 0 6 a 6 1. En consecuencia, a x es una función creciente de x si a 7 1
y es una función decreciente de x, si 0 6 a 6 1. En cada caso, a x es inyectiva. La segunda
derivada
es positiva para toda x, por lo que la gráfica de a x es cóncava hacia arriba para todo intervalo
de la recta real (figura 7.12).
Otras funciones potencia
La capacidad de elevar números positivos a potencias reales arbitrarias permite definir
funciones como x x y x ln x para x 7 0. Determinamos las derivadas de tales funciones reescribiendo
las funciones como potencias de e.
EJEMPLO 2 Diferenciación de una función potencia general
Determinar dy>dx si y = xx , x 7 0.
Solución Escribimos x x como una potencia de e:
Luego, diferenciamos como de costumbre:
La integral de
a u
d 2
dx 2 sax d = d
dx sax ln ad = sln ad 2 a x
y = x x = e x ln x .
dy
dx
d ln x = ex
dx
x ln x d
= e sx ln xd
dx
= x x ax # 1 x
= x x s1 + ln xd.
Si a Z 1, de modo que ln a Z 0, podemos dividir ambos lados de la ecuación (1) entre ln a
para obtener
u du
a
dx
a x con a = x.
+ ln xb
= 1
ln a d
dx sau d.