Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
1
2
y
y sen 2 x
0
2
2
FIGURA 5.24 El área debajo de la
curva y = sen en [0, 2p] es igual a p
unidades cuadradas (ejemplo 8).
2 x
x
Solución 2: Sustituimos, en cambio, por u = 2 .
3 z2 + 1
Integrar respecto de u.
Reemplazar u por sz 2 + 1d1>3 .
Las integrales de y
Algunas veces podemos usar identidades trigonométricas para transformar integrales que
no sabemos cómo evaluar, en otras en las que podamos usar la regla de sustitución. Veamos
un ejemplo que da las fórmulas de integración para el y cos las cuales aparecen
con frecuencia en las aplicaciones.
2 sen x
2 cos
x
2 sen x
2 x
EJEMPLO 7
(a)
(b)
L sen2 x dx = L
L cos2 x dx = L
= 1
2 L s1 - cos 2xd dx = 1
2 L dx - 1
2 L cos 2x dx
= 1 1 sen 2x
x -
2 2 2
= x
2
L
2z dz
2 3 z2 + 1 = L 3u2 du
u
1 - cos 2x
2
1 + cos 2x
2
+ sen 2x
4
+ C
EJEMPLO 8 Área debajo de la curva y = sen 2 x
5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución 373
La figura 5.24 muestra la gráfica de gsxd = sen en el intervalo [0, 2p]. Encontrar
(a) la integral definida de gsxd en [0, 2p].
(b) el área entre la gráfica de la función y el eje x en [0, 2p].
2 x
Solución
(a) De acuerdo con el ejemplo 7(a), la integral definida es
2p
sen
L0
= [p - 0] - [0 - 0] = p.
2 x dx = c x
2p
sen 2x
- d = c
2 4 0
2p sen 4p
- d - c
2 4
0
2
dx
dx
= 3 L u du
= 3 # u2
2
= 3
2 sz2 + 1d 2>3 + C
+ C = x
2
- sen 2x
4
- sen 0
4 d
(b) La función sen es no negativa, de manera que el área es igual a la integral definida,
o p.
2 x
+ C
+ C
Sea
3u 2 u
du = 2z dz.
3 = z 2 u = 2
+ 1,
3 z 2 + 1,
sen 2 x =
cos 2 x =
1 - cos 2x
2
1 + cos 2x
2
Con la parte (a), pero
con un signo cambiado