Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

5. ¿Qué es la función logaritmo natural? ¿Cuál es su dominio, rango
y derivada? ¿Qué propiedades aritméticas tiene? Comente su gráfica.
6. ¿Qué es la derivación logarítmica? Proporcione un ejemplo.
7. ¿Qué integrales conducen a logaritmos? Dé ejemplos. ¿Cuáles
son las integrales de tan x y cot x?
8. ¿Cómo se define la función exponencial e x ? ¿Cuál es su dominio,
rango y derivada? ¿Qué leyes de exponentes cumple? Comente su
gráfica.
9. ¿Cómo se definen las funciones a x y loga x? ¿Existen restricciones
sobre a? ¿Cómo se relaciona la gráfica de loga x con la de ln
x? ¿Es cierto que en realidad sólo existe una función exponencial
y una función logaritmo?
10. Describa alguna de las aplicaciones de los logaritmos de base 10.
11. ¿Cuál es la ley de cambio exponencial? ¿Cómo puede deducirse
con base en un problema con valor inicial? ¿Cuáles son algunas
de las aplicaciones de esta ley?
12. ¿Cómo se comparan las razones de crecimiento de funciones positivas
cuando x : q?
13. ¿Qué papel desempeñan las funciones e x y ln x en las comparaciones
de crecimiento?
14. Describa la notación o pequeña y O grande. Proporcione ejemplos.
Capítulo 7 Ejercicios de práctica
Derivación
En los ejercicios 1 a 24, determine la derivada de y con respecto de la
variable apropiada.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15.
16. 17.
18.
19.
20. y = s1 + t 2d cot-1 y = t tan
2t
-1 t - 1
y = z cos
ln t
2 -1 z - 21 - z 2
y = ln cos-1 y = sen x
-1 a 1
y = sen
b, y 7 1
2y -121 - u2 y = 2sln xd
, 0 6 u 6 1
x>2
y = 22x
x + 2
y = sx + 2d -22
y = 5x3.6 y = 92t y = 8-t y = log2 sx y = log5 s3x - 7d
2 y = ln ssec
>2d
2 y = ln ssen ud
2 y = x
ud
2 e -2>x
y = 1
4 xe4x - 1
16 e4x
y = 22e 22x
y = 10e -x>5
Capítulo 7 Ejercicios de práctica 547
15. ¿Qué es más eficiente, una búsqueda secuencial o una búsqueda
binaria? Explique.
16. ¿Cómo se definen las funciones trigonométricas inversas? ¿Cómo
se pueden utilizar triángulos rectángulos para determinar los valores
de estas funciones? Proporcione ejemplos.
17. ¿Qué son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas?
¿Cómo son los dominios de las derivadas, en comparación con los
dominios de las funciones?
18. ¿Qué integrales llevan a funciones trigonométricas inversas? ¿De
qué forma se amplía la aplicación de estas integrales mediante la
sustitución y completar cuadrados?
19. ¿Cuáles son las seis funciones hiperbólicas básicas? Comente sus
dominios, rangos y gráficas. ¿Cuáles son algunas de las identidades
que las relacionan?
20. ¿Cuáles son las derivadas de las seis funciones hiperbólicas básicas?
¿Cuáles son las correspondientes fórmulas de integrales?
¿Qué similitudes puede identificar respecto de las seis funciones
trigonométricas básicas?
21. ¿Cómo se definen las funciones hiperbólicas inversas? Comente
sus dominios, rangos y gráficas. ¿Cómo se pueden determinar,
con ayuda de una calculadora, los valores de sech –1 x, csch –1 x y
coth –1 x para cosh –1 x, senh –1 x y tanh –1 x?
22. ¿Qué integrales llevan de manera natural a las funciones hiperbólicas
inversas?
21.
22.
23.
24. y = s1 + x 2 de tan-1 y = csc
x
-1 y = 22x - 1 sec
ssec ud, 0 6 u 6 p>2
-1 y = z sec
1x
-1 z - 2z 2 - 1, z 7 1
Derivación logarítmica
En los ejercicios 25 a 30, utilice la derivación logarítmica para determinar
la derivada de y con respecto de la variable apropiada.
25. 26.
27.
28.
29. y = ssen ud 30.
1>sln xd
y = sln xd 2u
y =
2u2 u
2u2 st + 1dst - 1d
y = a
st - 2dst + 3d
+ 1
b
y = y =
10 3x + 4
A 2x - 4
5
, t 7 2
2sx2 + 1d
2cos 2x
Integración
Evalúe las integrales en los ejercicios 31 a 78.
31. 32. e
L t cos s3et - 2d dt
L ex sen sexd dx