Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

112. (Continuación del ejercicio 111). En el ejercicio 111, el polinomio
trigonométrico f(t) que aproxima la función serrucho g(t) en
[–p, p] tenía una derivada que aproximaba la derivada de la función
serrucho. Sin embargo, es posible que un polinomio trigonométrico
aproxime una función de manera razonable y que, al
mismo tiempo, su derivada no aproxime tan bien la derivada de
la función. Como ejemplo, el “polinomio”
s = hstd = 1.2732 sen 2t + 0.4244 sen 6t + 0.25465 sen 10t
+ 0.18189 sen 14t + 0.14147 sen 18t
graficado en la figura 3.35, aproxima la función escalonada
s = k(t). No obstante la derivada de h no se parece a la derivada
de k.
3.6
5
y 2 25 x 2
2
1
0
s
1
2
s k(t)
s h(t)
FIGURA 3.35 La aproximación de una
función escalonada por un “polinomio”
trigonométrico (ejercicio 112).
y
Diferenciación implícita
y 1 25 x 2
0 5
(3, 4)
Pendiente
x
y
3
4
FIGURA 3.36 El círculo combina las
gráficas de dos funciones. La gráfica de y 2
es el semicírculo inferior, y pasa por
s3, -4d.
x
t
a. Grafique dkNdt (donde esté definida) en [–p, p].
b. Encuentre dh>dt.
c. Grafique dhNdt para ver lo mal que se ajusta a la gráfica de
dkNdt. Comente lo que ve.
Curvas parametrizadas
Use un software matemático para realizar los pasos siguientes en las
curvas parametrizadas de los ejercicios 113-116.
113.
114.
3.6 Diferenciación implícita 205
a. Grafique la curva para el intervalo dado de los valores de t.
b. Encuentre dyNdx y d 2 yNdx 2 en el punto t0. c. Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva en
el punto definido por el valor dado t0. Grafique juntas la curva
y la recta tangente.
x = 1
3 t 3 , y = 1
2 t 2 , 0 … t … 1, t0 = 1>2
x = 2t
t0 = 3>2
3 - 16t 2 + 25t + 5, y = t 2 + t - 3, 0 … t … 6,
115. x = t - cos t, y = 1 + sen t, -p … t … p, t0 = p>4
116. x = e t cos t, y = e t sen t, 0 … t … p, t0 = p>2
Casi todas las funciones de las que hemos hablado hasta aquí se han definido mediante
una ecuación de la forma y = f(x) que expresa y explícitamente en términos de la variable
x. Hemos aprendido reglas para derivar funciones definidas de esta manera. En la sección
3.5 también aprendimos cómo encontrar la derivada dyNdx, cuando la curva está definida
paramétricamente, mediante las ecuaciones x = x(t) y y = y(t). Una tercera situación ocurre
cuando encontramos ecuaciones como
x 2 + y 2 - 25 = 0, y 2 - x = 0, o x 3 + y 3 - 9xy = 0.
(Vea las figuras 3.36, 3.37 y 3.38). Estas ecuaciones definen una relación implícita entre
las variables x y y. En algunos casos, podremos despejar y de tales ecuaciones como una
función explícita (o quizás como varias funciones) de x. Cuando no es posible dar a la
ecuación F(x, y) = 0 la forma y = f(x) para derivarla de la manera usual, tal vez se pueda
encontrar dyNdx mediante diferenciación implícita. Esto consiste en derivar ambos lados
de la ecuación con respecto a x y después resolver la ecuación resultante para y¿ . En esta
sección se describe la técnica, misma que utilizaremos para extender la regla de potencias
para diferenciación con el propósito de que incluya exponentes racionales. En los ejemplos
y ejercicios de esta sección siempre se supondrá que la ecuación dada determina y implícitamente
como una función diferenciable de x.
Funciones definidas implícitamente
Empecemos con un ejemplo.