Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

240 Capítulo 3: Derivadas
Linealización
119. Encuentre las linealizaciones de
a. tan x en x = -p>4 b. sec x en x = -p>4.
Grafique juntas las curvas y las linealizaciones.
120. Puede obtener una aproximación lineal útil de la función
ƒsxd = 1>s1 + tan xd en x = 0 combinando las aproximaciones
para obtener
1
1 + x
L 1 - x y tan x L x
1
1 + tan x
Demuestre que este resultado es la aproximación lineal estándar
de 1>s1 + tan xd en x = 0.
121. Encuentre la linealización de ƒsxd = 21 + x + sen x - 0.5
en x = 0.
122. Encuentre la linealización de ƒsxd = 2>s1 - xd + 21 + x
– 3.1 en x = 0.
Estimaciones diferenciales del cambio
123. Área de la superficie de un cono Escriba una fórmula que estime
el cambio que ocurre en el área de la superficie lateral de
un cono circular recto cuando la altura cambia de h0 a h0 + dh y
el radio no se modifica.
h
(Área superficial lateral)
r
V
1
r
3
2h S rr 2 h2 L 1 - x.
Capítulo 3 Ejercicios adicionales y avanzados
1. Una ecuación como se llama identidad, ya
que se satisface para todos los valores de u. Una ecuación como sen
u = 0.5 no es una identidad, porque sólo se satisface para ciertos
valores de u, no para todos. Si diferenciamos ambos lados de una
identidad en u con respecto a u, el resultado es una ecuación nueva
que también será una identidad.
Derive las siguientes para probar que las ecuaciones resultantes
se satisfacen para toda
a.
b. cos 2u = cos2 u - sen2 sen
u.
sen 2u = 2 sen u cos u
u
2 u + cos2 u = 1
124. Error Compuesto
a. ¿Con qué exactitud debe medirse la arista de un cubo para
estar seguros de calcular el área de la superficie del cubo
con un error no mayor de 2 por ciento?
b. Suponga que la arista se mide con la exactitud requerida en
el inciso (a). ¿Con cuánta precisión puede calcularse el volumen
del cubo a partir de la medición de la arista? Para saberlo,
estime el porcentaje de error en los cálculos del volumen
que pueden resultar de usar la medición de la arista.
125. Compensación del error La circunferencia del ecuador de
una esfera se mide como 10 cm, con un posible error de 0.4 cm.
Después se usa esta medida para calcular el radio. Luego se usa
el radio para calcular el área superficial y el volumen de la esfera.
Estime los porcentajes de los errores en los valores calculados
de
a. el radio
b. el área superficial
c. el volumen.
126. Determinación de una altura Para encontrar la altura del
poste de luz (vea la figura), se pone un palo de 6 pies de longitud
a 20 pies del poste, y se mide la longitud a de su sombra, encontrando
que ésta es de 15 pies, con una pulgada de más o de menos.
Calcule la altura del poste de luz usando el valor a = 15 y
estimando el error posible en el resultado.
h
6 pies
20 pies
2. Si se deriva la identidad
con respecto a x, ¿la ecuación resultante es una identidad? ¿Se
aplica este principio a la ecuación x Explique.
3. a. Encuentre los valores para las constantes a, b y c que hagan
que
2 sen sx + ad = sen x cos a + cos x sen a
- 2x - 8 = 0?
ƒsxd = cos x y gsxd = a + bx + cx 2
satisfagan las condiciones
ƒs0d = gs0d, ƒ¿s0d = g¿s0d, y ƒ–s0d = g–s0d.
a