Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

(–1, 1)
–1
1
y
(0, 2)
0 1
y x 4 2x 2 2
(1, 1)
FIGURA 3.10 La curva
y = x y sus tangentes
horizontales (ejemplo 6).
4 - 2x 2 + 2
x
El paso 2 consiste en demostrar que si el enunciado es verdadero para cualquier entero
positivo n = k, donde k Ú n0 = 2, entonces también será válido para n = k + 1. Por lo
tanto, supongamos que
Entonces
Ecuación 1.
Habiendo verificado estos pasos, el principio de inducción matemática garantiza la
regla de la suma para cualquier entero n Ú 2.
EJEMPLO 6 Determinación de tangentes horizontales
¿La curva y = x tiene alguna tangente horizontal? De ser así, ¿en dónde la
tiene?
4 - 2x2 + 2
Solución Las tangentes horizontales, si las hay, aparecen cuando la pendiente dyNdx es
cero. Tenemos que
Ahora resolvemos la ecuación
La curva y = x tiene tangentes horizontales en x = 0, 1 y –1. Los puntos correspondientes
en la curva son (0, 2), (1, 1) y (–1, 1). Vea la figura 3.10.
4 - 2x2 + 2
Productos y cocientes
d
dx su1 + u2 + Á + ukd = du1
dx
= d
dx su1 + u2 + Á + ukd + duk + 1
dx
= du1
dx
dy
dx
= d
dx sx4 - 2x 2 + 2d = 4x 3 - 4x.
dy
dx
+ du2
dx + Á + duk
dx + duk + 1
dx .
= 0 para x:
4x 3 - 4x = 0
4xsx 2 - 1d = 0
x = 0, 1, -1.
3.2 Reglas de diferenciación 163
+ du2
dx + Á + duk
dx .
d
dx (u1 + u2 + Á + uk + uk + 1)
(++++)++++* ()*
Llamemos a la función Ahora
definida por esta suma u llamemos
a esta función v
Mientras la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas, la derivada
del producto de dos funciones no es el producto de sus derivadas. Por ejemplo,
d
dx sx # d
xd =
dx sx2d = 2x, mientras que d
dx sxd # d
dx sxd = 1 # 1 = 1.
La derivada de el producto de dos funciones es la suma de dos productos, como se explica
a continuación.
REGLA 5 Regla de la derivada de un producto
Si u y v son diferenciables en x, entonces también lo es su producto uv, y
d dy
suyd = u
dx dx
+ y du
dx .
(1)
Regla 4 para d
su + yd
dx