Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Cuando se satisface la definición, decimos que las sumas de Riemann de f en [a, b]
b
convergen a la integral definida I = 1a ƒsxd dx y que f es integrable en [a, b]. Tenemos
muchas opciones de una partición P con norma que tienda a cero, así como numerosas
alternativas de puntos ck para cada partición. La integral definida existe cuando siempre
obtenemos el mismo límite I, sin importar qué elecciones hayamos hecho. Cuando existe
el límite, lo escribimos como la integral definida
Cuando cada partición tiene n subintervalos iguales, cada uno de ancho
también escribiremos
El límite siempre se toma cuando la norma de las particiones tiende a cero y el número de
subintervalos tiende a infinito.
El valor de la integral definida de una función en cualquier intervalo en particular depende
de la función y no de la letra que elijamos para representar la variable independiente.
Si decidimos usar t o u en lugar de x, simplemente escribimos las integrales como
b
n
lím a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
n
lím
n: q a
k = 1
ƒsckd ¢xk = I = ƒsxd dx.
La
ƒsckd ¢x = I = ƒsxd dx.
La
b
ƒstd dt o ƒsud du en lugar de ƒsxd dx.
La
La
La
No importa cómo escribamos la integral, sigue siendo el mismo número, definido como
un límite de sumas de Riemann. Como no importa qué letra usemos, la variable de integración
se llama variable muda.
Dado que hay tal cantidad de opciones entre las cuales elegir al tomar un límite de sumas
de Riemann, puede parecer difícil demostrar que tal límite existe. Resulta, sin embargo,
que no importa qué elección se haga, las sumas de Riemann asociadas a una función
continua convergen al mismo límite.
b
b
5.3 La integral definida 345
b
¢x = sb - ad>n,
TEOREMA 1 La existencia de integrales definidas
Las funciones continuas son integrables. Esto es, si una función f es continua en
un intervalo [a, b], su integral definida en [a, b] existe.
De acuerdo con el teorema del valor extremo (teorema 1 de la sección 4.1), cuando f
es continua podemos elegir de manera que dé el valor máximo de ƒ en
obteniendo una suma superior. Podemos elegir ck para obtener el valor mínimo de f en
obteniendo una suma inferior. Podemos elegir como el punto medio de
el punto más a la derecha o un punto al azar. Podemos tomar las particiones
con el mismo ancho, o con distintos anchos. En cada caso obtenemos el mismo límite para
g cuando 7P7 : 0. La idea detrás del teorema 1 es que la suma de Riemann
asociada a una partición no es mayor que la suma superior de la partición, ni menor que la
suma inferior. Las sumas superior e inferior convergen al mismo valor cuando 7P7 : 0.
Todas las otras sumas de Riemann están entre las sumas inferior y superior, y tienen el
mismo límite. Una demostración del teorema 1 involucra un análisis cuidadoso de las funciones,
particiones y límites, por lo que dejaremos su análisis para textos más avanzados.
En los ejercicios 80 y 81 se da una indicación para esta prueba.
n ck
ƒsckd
[xk - 1, xk],
[xk - 1, xk],
ck
[xk - 1, xk],
xk,
k = 1ƒsckd ¢xk