Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

170 Capítulo 3: Derivadas
44. Determine la tangente de la bruja de Agnesi (cuya gráfica se
muestra a continuación) en el punto (1, 2).
45. Tangente cuadrática a la función identidad La curva
ax pasa por el punto (1, 2), y es tangente a la recta y = x
en el origen. Encuentre a, b y c.
2 y =
+ bx + c
46. Funciones cuadráticas con una tangente común Las curvas
y y = cx - x tienen una recta tangente común
en el punto (1, 0). Encuentre a, b y c.
2
y = x 2 + ax + b
47. a. Encuentre una ecuación para la recta que es tangente a la curva
y = x en el punto s -1, 0d.
b. Grafique juntas la curva y la tangente. La tangente interseca
la curva en otro punto. Use las funciones Zoom y Trace
de su calculadora graficadora para estimar las coordenadas
del punto.
c. Confirme su estimación de las coordenadas del segundo punto
de intersección resolviendo, simultáneamente, las ecuaciones
de la curva y la tangente. (Puede utilizar para ello la tecla
Solver).
3 - x
T
T
48. a. Encuentre una ecuación para la recta que es tangente a la curva
y = x en el origen.
b. Grafique juntas la curva y la tangente. La tangente interseca
la curva en otro punto. Use las funciones Zoom y Trace
de su calculadora graficadora para estimar las coordenadas
del punto.
c. Confirme su estimación de las coordenadas del segundo
punto de intersección resolviendo, simultáneamente, las ecuaciones
de la curva y la tangente. (Utilice para ello la tecla
Solver).
3 - 6x2 + 5x
T
T
Teoría y ejemplos
49. La función polinomial general de grado n tiene la forma
2
1
0
y
1 2
Psxd = an xn + an - 1 xn - 1 + Á + a2 x2 + a1 x + a0
donde an Z 0. Encuentre P¿sxd.
50. La reacción del cuerpo a un medicamento En ocasiones, la
reacción del cuerpo a una dosis de medicamento puede representarse
mediante una ecuación de la forma
y
R = M 2 a C
2
8
x 2 4
(2, 1)
M
- b ,
3
donde C es una constante positiva y M es la cantidad de medicamento
absorbida en la sangre. Si la reacción es un cambio en
la presión de la sangre, R se mide en milímetros de mercurio. Si la
reacción es un cambio en la temperatura, R se mide en grados, y
así sucesivamente.
3
x
Encuentre dRNdM. Esta derivada, como una función de M, se
denomina sensibilidad del cuerpo al medicamento. En la sección
4.5 veremos cómo determinar la cantidad de medicamento a la
que el cuerpo es más sensible.
51. Suponga que la función y en la regla del producto tiene un valor
constante c. ¿Qué dice la regla del producto en ese caso? ¿Qué
dice de esto la regla del múltiplo constante?
52. La regla de la función recíproca
a. La regla de la función recíproca afirma que en cualquier punto
donde la función y(x) es diferenciable y distinta de cero,
Demuestre que la regla de la función recíproca es un caso especial
de la regla del cociente.
b. Pruebe que juntas, la regla de la función recíproca y la del
producto, implican la regla del cociente.
53. Generalización de la regla del producto La regla del producto
da lugar a la fórmula
para la derivada del producto uy de dos funciones diferenciables
de x.
a. ¿Cuál es la fórmula análoga para la derivada del producto
uyw de tres funciones diferenciables de x?
b. ¿Cuál es la fórmula para la derivada del producto u1u2u3u4 de
cuatro funciones diferenciables de x?
c. ¿Cuál es la fórmula para la derivada de un producto u1, u2, u3... un de un número n de funciones diferenciables de x?
54. Potencias racionales
a. Encuentre escribiendo como x # 1>2
x x y usando
la regla del producto. Exprese la respuesta como un número
racional elevado a una potencia racional de x. Trabaje los incisos
(b) y (c) de manera similar.
3>2
d
dx Ax3>2B b. Encuentre
d
dx sx5>2 d.
d dy du
suyd = u + y
dx dx dx
d
c. Encuentre
dx
d. ¿Qué patrones puede identificar en las respuestas que dio a
los incisos (a), (b) y (c)? Las potencias racionales son uno de
los temas que estudiaremos en la sección 3.6.
sx7>2d. 55. Presión en un cilindro Si un gas en un cilindro se mantiene a
temperatura constante T, la presión P se relaciona con el volumen
V mediante la fórmula
P =
d
dx a1 dy
y b =-12
y dx .
nRT
V - nb
an2
- , 2 V
en donde a, b, n y R son constantes. Encuentre dPNdV. (Vea la figura
siguiente).