Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

126 Capítulo 2: Límites y continuidad
1
4
3
2
1
2
y
1
y ent x
o
y ⎣x⎦
FIGURA 2.54 La función mayor entero
es continua en todo punto no entero.
Es continua por la derecha pero no
por la izquierda, en todo punto entero
(ejemplo 4).
2
3
4
x
EJEMPLO 4 La función parte entera
La función y = :x; o y = ent x, de la que se habló por primera vez en el capítulo 1, aparece
graficada en la figura 2.54. Dicha función es discontinua en todos los enteros, porque el
límite no existe en ningún entero n:
lím ent x = n - 1 y lím ent x = n
- + x:n x:n
de modo que los límites laterales izquierdo y derecho no son iguales cuando x : n. Como
ent n = n, la función mayor entero es continua por la derecha en todo entero n (pero no es
continua por la izquierda).
La función parte entera es continua en cualquier número real que no sea entero. Por
ejemplo
lím ent x = 1 = ent 1.5.
x:1.5
En general, si n – 1 < c < n, siendo n un entero, entonces
La figura 2.55 es un catálogo de tipos de discontinuidades. La función de la figura
2.55a es continua en x = 0. La función de la figura 2.55b sería continua si tuviera f (0) = 1.
La función de la figura 2.55c sería continua si f(0) fuera 1 en lugar de 2. Las discontinuidades
de las figuras 2.55b y c son removibles (evitables). Cada función tiene un límite cuando
y podemos evitar la discontinuidad haciendo que f(0) sea igual a ese límite.
En la figura 2.55d las discontinuidades a lo largo de f son más serias: no
existe y no hay manera de resolver la situación cambiando f en 0. La función escalonada
de la figura 2.55d tiene una discontinuidad de salto: existen límites laterales, pero tienen
valores distintos. La función f(x) = 1/x 2 lím ent x = n - 1 = ent c.
x:c
x : 0
límx:0 ƒsxd
de la figura 2.55e tiene una discontinuidad infinita.
La función de la figura 2.55f tiene una discontinuidad oscilante: oscila demasiado
para tener un límite cuando x : 0.
1
0
y
(a) (b) (c)
y y
y f(x) 1
1
x2 0
(e)
y
2
y f(x) y f(x) y f(x)
1
x x
x
0
0
x
1
1
0
1
y
(f)
y sen 2p
x
x
1
0
y
(d)
y f(x)
FIGURA 2.55 Una función en (a) es continua en x = 0; las funciones en (b) a (f) no lo son.
x