Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

196 Capítulo 3: Derivadas
Posición de la partícula
en el tiempo t.
( f(t), g(t))
FIGURA 3.29 La trayectoria trazada
por la partícula que se mueve en el plano
xy no siempre es la gráfica de una
función de x o una función de y.
t
t
2
0
t 3
2
y
x 2 y 2 1
t
P(cos t, sen t)
t 0
(1, 0)
FIGURA 3.30 Las ecuaciones x = cos t y
y = sen t describen el movimiento sobre el
círculo x 2 + y 2 = 1. La flecha muestra la
dirección de crecimiento de t (ejemplo 9).
x
1
y
y sen x
y sen(x°) sen x
180
FIGURA 3.28 Sensx°d oscila solamente p/180 veces tanto como oscila sen x. Su pendiente
máxima es p/180 en x = 0.
Para estudiar el movimiento, t denota usualmente el tiempo. Ecuaciones como éstas son
mejores que una fórmula cartesiana, porque nos indican la posición de la partícula (x, y) =
(f(t), g(t)) en cualquier tiempo t.
DEFINICIÓN Curva paramétrica
Si x y y están dadas como funciones
x = ƒstd, y = gstd
en un intervalo de valores de t, entonces el conjunto de puntos (x, y) = (f(t), g(t))
definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las ecuaciones son
ecuaciones paramétricas de la curva.
La variable t es un parámetro de la curva, y su dominio I es el intervalo del parámetro.
Si I es un intervalo cerrado, a … t … b, el punto (ƒ(a), g(a)) es el punto inicial de la
curva. El punto (ƒ(b), g(b)) es el punto final. Cuando damos ecuaciones paramétricas y
un intervalo del parámetro de una curva, decimos que hemos parametrizado la curva. En
conjunto, las ecuaciones y el intervalo constituyen una parametrización de la curva.
EJEMPLO 9 Movimiento en un círculo, en sentido contrario a las manecillas del reloj
Graficar las curvas paramétricas
(a) x = cos t, y = sen t, 0 … t … 2p.
(b) x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 2p.
Solución
(a) Como la curva paramétrica está a lo largo del círculo
unitario x Conforme t crece de 0 a 2p, el punto (x, y) = (cos t, sen t) empieza
en (1,0) y traza el círculo completo una vez en sentido contrario al movimiento
de las manecillas del reloj (figura 3.30).
2 + y 2 x
= 1.
2 + y 2 = cos2 t + sen2 t = 1,
(b) Para tenemos
La parametrización describe un movimiento que empieza en el punto (a, 0) y recorre
el círculo x 2 + y 2 = a 2 a
una vez en sentido contrario al movimiento de las manecillas
del reloj, regresando al punto (a, 0) en t = 2p.
2 x
.
2 + y2 = a2 cos2 t + a2 sen2 x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 2p,
t =
180
x